陈 瑛，吴明珠，胡新荣

(1．华南师范大学增城学院计算机系，广东广州511363;2．武汉纺织大学数学与计算机学院，湖北武汉430200)

织物建模与仿真作为计算机图形学领域的研究热点［1-2］，经历了3个阶段:(1)采用纯几何变换模拟织物的形变［3］，需要用户干预，模拟效果有限．(2)基于板壳理论的物理模型［4］．通过引入质量、力、能量等物理量，将织物各部分的运动看成是各种力作用下质点运动的结果．TERZOPOULOS等［5-6］提出了弹性形变模型，将柔性织物的变形描述成织物内部抵抗形变产生的弹簧内力、外力和阻尼力共同作用的结果，并遵循胡克定理和牛顿第二运动定律．(3)基于质点 -弹簧模型的粒子系统［7-8］，模拟织物内部拉伸、剪切和弯曲等各向同性的物理特性．

在质点-弹簧模型中，PROVOT［8］首先发现了“超弹性”现象，但模拟织物特征不真实．采用KES系统检测织物的拉伸性能［9］，产生相应的Kawabata曲线，使弹性系数随质点距离的改变而变化，以解决超弹性问题．但公式复杂，计算量大，增加了算法时间复杂度．另外，采用添加补偿力的方法［10］，易导致系统不稳定．

本文基于KES系统的检测结果提出改进的质点-弹簧模型，充分考虑了结构弹簧在力学性能上的特点，采用分段的弹性系数．与WANG等［11］提出的“Data-Driven Elastic Models”相比，都采用了分段线性弹性模型的方法．WANG测量了大量能反映布料真实感的参数，为10种明显不同的布料类型建立了参数数据库，能匹配大部分布料，效果逼真，并能实现模拟布料的各向异性．本文根据纺织材料学参数，对弹性系数进行线性分段，各向同性．当应力在织物不出现范性形变或结构性破坏的范围内，能获得较好的仿真效果．既限制了超弹性现象，也考虑了时间性能，有效解决超弹性问题．

1 建模

质点-弹簧模型将织物的经向与纬向分布成m×n的质点矩阵，织物的质量均匀分布在质点上，质点之间由3种模拟弹簧结构约束(图1)．

图1 质点-弹簧模型结构图Figure 1 The structure ofmass-springmodel

假设中间质点的坐标为(i，j)，那么，连接质点(i，j)与其上、下、左、右4点的弹簧为结构弹簧．为了保持质点间的初始距离，结构弹簧的作用是模拟织物经纬2个方向相邻质点的作用力，需将弹性系数设置为较大值，以阻止布料在经纬2个方向过度的拉伸形变．结构弹性系数越大，则织物相应的形变越小．连接质点(i，j)和左上、左下、右上、右下4点的弹簧为剪切弹簧，其作用是为了保持织物的平展性，模拟织物内倾斜方向的作用力．较大的弹性系数可防止织物在自身平面上突然产生切向的不真实的形变．连接质点(i，j)和上下左右相间隔4点的弹簧为弯曲弹簧，模拟织物在弯曲形变时的抗弯曲性能．弯曲弹簧的弹性系数设置值越小，织物的柔软程度越高．

以结构弹簧为例，从KES系统获得常用纤维织物的弹性曲线［12］(图2)，其斜率为织物的弹性系数，弹性系数曲线是非线性的．经典质点-弹簧模型中，采用的弹性系数是固定的，弹性曲线表现为一直线(图3A)，采用分段处理后，弹性曲线可由图3B来模拟，更接近于实际情况(图3C)．兼顾仿真效率和可视化效果，三段处理接近实际情况．

图2 常用纤维织物的弹性曲线Figure 2 Elastic curve for commonly used cloths

图3 不同模型的弹性曲线Figure 3 Elastic curves of differentmodels

2 受力模型

在质点-弹簧模型m×n的织物网格矩阵中，质点 M(i，j)在任意 t时刻的三维坐标为 ri．jR3，i和j表示质点所处的经线标号(i=1，…，m)和纬线标号(j=1，…，n)．根据牛顿第二运动定律有:

式中，mi，j为质点 M(i，j)的质量，Fi，jR3为质点所受合力，由内力和外力组成，ai，j为质点在合力 Fi，j作用下产生的加速度．

Fi，j由质点所受的内力、外力组成．内力要考虑织物模型中的结构弹簧力、剪切弹簧力和弯曲弹簧力．外力包括质点所受的重力以及运动过程中产生的阻尼力．

质点 M(i，j)所受合力 Fi，jR3为:

2．1 内力

质点的内力由3种弹簧力组成，每种弹簧力为该质点各向弹簧力之和．

以质点M(i，j)与N(i+1，j)之间的结构弹簧力为例，

dMN指相邻M(i，j)与N(i+1，j)之间当前时刻的距离．pMN指结构弹簧力的方向向量．δ指质点M(i，j)与质点 N(i+1，j)之间平衡距离．ε1、ε2指质点实际距离与平衡态距离偏移量的2个阈值，当偏移量小于ε1时，采用弹簧系数k1;当偏移量大于等于且小于等于ε2时，采用较大弹簧系数k2，限制过度变形．当偏移量大于ε2时，采用更大的弹簧系数k3．根据织物的拉伸实验数据［13］，其拉伸形变通常不超过 10%，取 ε1=8%δ，ε2=10%δ．

2．2 重力

质点M(i，j)所受的重力为质点质量与重力加速度的乘积．

式中，mi，j为质点平均质量，即织物总质量除以质点总数，g为重力加速度．

2．3 阻尼力

阻尼的物理意义为能量随时间或距离的耗散．附加阻尼可以增加系统的稳定性，模拟织物的硬度，并且防止织物网格出现较大的不切实际的振动．

kd为阻尼系数．Δvi，j为质点 M(i，j)的相对速度向量，即质点M(i，j)和其所属弹簧中与另一质点间的相对速度向量．

3 Verlet积分方法与系统仿真

在系统仿真中，需要设置质点的初始位置，求得每隔Δt时刻后质点的位置r'i，j，更新质点位置，核心是一个数值积分过程．质点当前位置ri，j已知的前提下，下一时刻的位置由质点的速度v决定，r'i，j=ri，j+v·Δt，如直接采用 v=v*+a·Δt(v*为上一时间点质点的速度)的方法，速度只与受力有关，会造成系统的不稳定，如在每个时间步长结束后调整质点的速度为上一时刻质点的位置)，则可以增加数值积分的稳定性，所以，Δt时刻后质点的位置r'i，j的计算公式为:

即Verlet积分法，常用于分子动力学的模拟［13］．

考虑碰撞问题，设置刚性球状障碍物，当检测到下一时刻织物质点将与障碍物发生碰撞时，将质点的位置拉回到物体表面．工作流程如图4所示．

4 结果与分析

以12×12的网格结构织物为仿真对象，得到织物的仿真俯视效果(图5)．质点-弹簧模型的球顶出现明显的超弹性现象，织物网格出现了不合理的夸大的疏松．改进的质点-弹簧模型较好地解决了超弹性问题，仿真的可视化效果更加真实(图5B)．而且在不同时间步长下，都有稳定的输出结果(图6)．

本方法采用的分段弹性模型，根据质点偏离平衡态的距离选择相应的弹性系数，在不增加计算量的同时，得到不俗的效果．

图4 仿真系统的工作流程Figure 4 Flow diagram of the simulation system

图5 织物仿真的俯视效果图Figure 5 Top view effect graphics of cloth simulation

图6 织物仿真的侧视效果图Figure 6 Side view effect graphics of cloth simulation

5 结语

针对质点-弹簧模型中出现的超弹性问题，根据织物拉伸形变过程中受力与形变程度关系的非线性特征，提出分段线性化弹性系数的改进模型结构．有效解决织物仿真中的超弹性问题，提高了织物仿真的真实感．

［1］LIU H．Research on virtual fashion design and its color element［D］．Zhejiang University，2001．

［2］FAN J，ZHOU J，WANG Q F，et al．2D/3D isometric transformation using spring-mass system［J］．JSoftware，1999，10(2):140-148．

［3］HINDSB K．Interactive garment design［J］．Visual Computer，1990(6):53-61．

［4］VOLINO P．Versatile and efficient techniques for simulating cloth and other deformable objects［C］．Orlando:ACM Siggraph，1998:106-117．

［5］TERZOPOULOSD，PLATT JC，BARR A H．Elastically deformablemodels［J］．Computer Graphics，1987，21:205-214．

［6］TERZOPOULOS D，FLEISCHER K．Deformable models［J］．The Visual Computer，1988，4(6):306-331

［7］BREEN D E．Predicting the drape of woven cloth using interacting particles［C］．Orlando:ACM Siggraph，1994:365-372．

［8］PROVOT X．Deformation constraints in a mass-spring model to describe rigid cloth behavior［J］．Proceedings of Graphics Interface，1995:147-154．

［9］刘卉，陈纯，施伯乐．基于改进的质点-弹簧模型的三维服装模拟［J］．软件学报，2003，14(3):619-627．

［10］汪剑春，胡新荣，王晖．基于质点-弹簧模型的动态织物仿真技术［J］．武汉科技学院学报，2008，21(9):5-8．

［11］WANG H M，O’BRIEN JF，RAMAMOORTHIR．Datadriven elastic models for cloth:Modeling and measurement［C］．New York:ACM Siggraph，2011，30(4):71．

［12］姚穆，周锦芳，黄淑珍，等．纺织材料学［M］．北京:中国纺织出版社，1990:518-532．

［13］李长锋，修毅．织物三维动态模拟［J］．计算机辅助设计与图形学学报，2006，18(9):1372-1376．