王春茹，吕敏红

(1.西安建筑科技大学 华清学院，西安 710055;2.西安航空学院，西安 710077)

代数研究中的群概念是最基本的概念。从代数结构观点来看，本质上相同的群被称作同构的。一般在研究群的时候是对所有群做同构分类。但事实上，将任意群进行分类的希望很小，但是如果对群加以某些限制，则可以得到比较好的结构定理。例如Abel 群，定义一个新的二元运算，可以得到一些新的结论。本文中对Abel 群定义了一个加法运算，即加法Abel 群，并对其展开研究。

1 基本定义和定理

定义1［1］在一个非空集合G 上定义一个二元运算μ:G×G→G，如果μ 满足:

1)封闭性:关于任意a，b∈G，a·b∈G;

2)结合律:关于任意a，b∈G，((a·b)·c)=(a·(b·c))。

将集合G 及其上面定义的二元运算μ 组成的代数系统称为半群，记为(G，μ)。

定义2［2］如果一个半群G 满足:

1)一个幺元素e∈G 使得ae=ea=a，a∈G;

2)对于每个a∈G 均存在逆元素a-1∈G，使得a-1a=aa-1=e。则G 是一个群。

定义3 半群G 上的二元运算如果满足交换律，即ab=ba，ab∈G，则称G为交换半群或Abel半群。

定义4 如果G 和H 是半群，定义一个映射:f:G→H，如果满足对于任意a，b ∈G，f(ab)=f(a)·f(b)，则称f为同态。如果f为一一映射，则称f为同构。

引理1［2］设f:G→H 是群同态，则:

1)f为单同态⇔ker f={e};

2)f为同构⇔存在同态f-1:H →G，使得ff-1=1H，并且ff-1=1G。

2 重要定理

定理1 设G为Abel 群，H 和K 是G的子群，则下面两个表述等价:①G≅H ⊕K;②存在同态映射π1:G→H，π2:G→K，l1:H→G，l2:K→G。其中:π1l1=1H，π2l2=1K，π1l2=0，π2l1=0。0 是将每个元素均映射成零元素的映射，并且对每个x∈G，l1π1(x)+l2π2(x)=x。

证明

①→②

设G≅H ⊕K，定义同构映射f:G→H ⊕K，则f-1为同态映射。取π1为π'1f，π2为π'2f，l1为f-1l'1，l2为f-1l'2，其中:π'1、π'2为正则映射;l'1、l'2为正则嵌入，则π1l1=π'1ff-1l'1=π'1l'1=1H，π2l2=π'2ff-1l'2=π'2l'2=1K，π1l2=π'1l'2=0，

②→①

π1l1=1H，π2l2=1K，π1l2=0，π2l1=0，l1π(x)+l2π(x)=x。设π'1为H ⊕K→H的正则映射，π'2为H ⊕K→K的正则映射，l'1为H→H ⊕K的正则嵌入，l'2为K→H ⊕K的正则嵌入，φ:H ⊕K→G。令φ=l1π'1+l2π'2，ψ:G→H ⊕K。再令ψ=l'1π1+l'2π2。所以

同理验证:ψφ=1H⊕K。所以φ 是同构的。

［1］Thomas W H.Algebra［M］.New York：Springer Press，1973：37-40.

［2］Howie J M.An introduction to semigroup theory［M］.［S.l.］：Academic Press，1976.

［3］张禾瑞.近世代……