沈 浮，夏必腊，许道军，王 磊，李 敏

(解放军陆军军官学院 数学教研室，合肥 230031)

Hermite 矩阵的Rayleigh 商是矩阵理论中一个很重要的内容，它在研究Hermite 矩阵的特征值时起着非常重要的作用。本文对复正规矩阵引进了Rayleigh 商的概念，并得到了一些重要性质。

在本文中，用Re(z)(lm(z))表示复数z的实(虚)部，用λ(A)表示A的特征值，用λmin(A)和λmax(A)分别表示Hermite 矩阵A的最小特征值和最大特征值，用λRmin(A)和λRmax(A)分别表示复矩阵A 实部最小的特征值和实部最大的特征值，用λlmin(A)和λlmax(A)分别表示复矩阵A 虚部最小的特征值和虚部最大的特征值。

1 相关定义及定理、引理

定义1 设A∈Cn×n是Hermite 矩阵，对于任意的非零列向量x∈Cn，称实数

为矩阵A的Rayleigh 商。

Hermite 矩阵的Rayleigh 商有一些重要性质，其表述如定理1所示。

定义2 设A∈Cn×n是复正规矩阵，对于任意的非零列向量x∈Cn，称复数

为复正规矩阵A的Rayleigh 商。

显然，复正规矩阵的Rayleigh 商概念是Hermite 矩阵Rayleigh 商概念的推广。

本文研究了复正规矩阵的Rayleigh 商，并得到了一些有用结论。为此，要用到正规矩阵的一些结论，见引理1～3。

引理1 设A∈Cn×n，则A 相似于对角矩阵的充分必要条件是:A为正规矩阵。

引理2 设A∈Cn×n，则A 是正规矩阵的充分必要条件是:A 存在n个特征值向量的正交组。

引理3 设A∈Cn×n是Hermite 矩阵，B∈Cn×n是反Hermite 矩阵，则A +B为正规矩阵的充分必要条件是:AB=BA。

2 主要结论

对于复正规矩阵的Rayleigh 商有如下结果:

证明

①由定义2 即得。

②设矩阵A的特征值为λ1=a1+ib1，λ2=a2+ib2，…，λn=an+ibn(不妨设a1≥a2≥…≥an)，则由引理1 知:存在酉矩阵U，使得

A=Udiag(λ1，λ2，…，λn)UH=Udiag(a1，a2，…，an)UH+iUdiag(b1，b2，…，bn)UH=R1(A)+ R2(A)这里R1(A)=Udiag(a1，a2，…，an)UH，R2(A)=Udiag(b1，b2，…，bn)UH均为Hermite 矩阵，其特征值分别是a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn。于是有

③设A的特征值λ1，λ2，…，λn满足Reλ1≥Reλ2≥…≥Reλn，因A 是正规矩阵，由引理2 知，可设A对应于λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量为x1，x2，…，xn。显然……