赵天玉 （长江大学信息与数学学院，湖北 荆州434023）

《概率论与数理统计》是一门应用性很强的课程，离散型随机变量是该课程中的重要内容，它的每一个概率分布都是一个特定的数学模型，有着非常直观的概率背景，而这些概率背景决定了这些分布之间存在着深刻的内在联系。在一般的教学过程中，仅仅只介绍常用离散型随机变量的概率分布，给出它们的分布率或分布表，很少对这些分布进行系统的概括总结，讨论它们之间的关系，几乎没有对这些分布进行延伸与扩充，导致学生无法建立常用概率分布之间的联系，影响学生对这些概率分布的应用。为此，笔者基于母函数对常用离散型随机变量概率分布进行了研究❶❶本文属长江大学精品课程 （概率论与数理统计）建设项目产出论文。。

1 常用离散型随机变量

常用离散型随机变量大致有7种：①0～1分布或两点分布：X ～b（1，p）；② 二项分布：X ～b（n，p）；③ 几何分布：X ～ Ge（p）；④ 巴斯卡分布或负二项分布：X ～ Nb（r，p）；⑤ 泊松分布：X～π（λ）；⑥超几何分布：X～h（n，M，N）；⑦多项分布［1］。这些随机变量的最大特点是它们的取值是非负整数，因此引入母函数便于处理。因为母函数是幂级数，具有许多良好的性质，所以母函数是研究取非负整数值随机变量的有效工具。

2 母函数

2.1 母函数的定义

2.2 母函数的性质

母函数有如下性质［2］：

（1）概率分布与母函数是一一对应的。因而对于概率分布的许多研究可以化为对其所对应的母函数的研究。

（2）独立随机变量之和的母函数。若随机变量X1，X2，…，Xn相互……