徐 斌 姚缨英

（浙江大学电气工程学院 杭州 310027）

1 引言

随着计算机技术的发展，以及电磁场数值计算理论、方法的不断丰富完善，运用于电磁设备优化计算的电磁场逆问题已成为计算电磁学的研究热点。大多数电磁装置优化设计问题为复杂、非凸、非线性的多目标优化设计问题，传统的确定类搜索算法，很难搜索到这类多目标函数的全局最优解。通过对社会、自然或物理现象的模拟，人们转而探索出模拟退火算法、禁忌算法、粒子群算法、遗传算法等新的随机类优化算法。与确定类算法相比，这类算法突出优点在于具有“上山性”，因此可以跳出局部极值点搜索到全局最优解；与传统随机类算法相比，其“上山性”具有目的性，可以用较小的计算代价求得全局最优解。

遗传算法自1975年由Holland首次提出以来，已广泛运用于以电磁设备优化为代表的各种领域[1-4]，并表现出强大的全局寻优能力。电磁场优化设计变量个数多，它们或连续或离散，或者部分连续部分离散，与其他算法比较，标准遗传算法并不具有显著优势。众所周知，算法的早熟和局部寻优能力的不足是标准遗传算法的明显缺陷。针对其不足之处，国内外众多研究者从算法本身结构和结合其他算法两个方向来研究改进，部分工作取得令人满意的结果。

文献[5]提出一种自适应遗传算法，其交叉概率变异概率适应于种群个体相识度和种群适应度相识度，使算法搜索更加高效灵活。文献[6]从自然进化因变异和灾难引起的种群消失现象，提出自适应种群消失遗传算法（Adaptive Population Disappearance Genetic Algorithm，APDGA）避免算法早熟，摆脱初始参数对算法收敛的影响。文献[7]提出二阶段遗传算法，通过控制参数的更改，在第一阶段全局随机搜索，第二阶段局部细化搜索。在以上所述的方法启发下，本文提出自适应对偶种群遗传算法（Adaptive Dual Species Genetic Algorithm，ADSGA），算法引入自适应对偶种群及新的子代产生规则，自适应终止规则。通过对典型数学问题的计算与标准遗传算法的对比，验证算法的优越性。最终将其运用到实际电磁设备优化设计—超导磁储能系统优化设计问题中。

2 自适应对偶种群遗传算法

分析标准遗传算法早熟与局部寻优能力不足的原因，交叉算子在算法中对新个体的产生起主要作用，当经过多次迭代后，群体中个体多样性变差，而当前群体又不包含全局最优个体时，出现收敛于局部最优解的现象，即算法早熟。由交叉和变异操作产生子代的机制具有很大随机性，并不能保证算法局部空间搜索时的有效性，极端情况甚至会出现子代适应度比父代更差的情况，这将导致算法的收敛速度减慢。

根据上面分析的原因，改进遗传算法的关键在于保证算法迭代过程中种群多样性的同时，提高算法搜索效率，前者改进算法早熟现象，后者提高算法局部寻优能力。本文引入自适应对偶种群、新的子代产生规则和适应于迭代次数的自适应终止规则，来保证种群多样性提高算法局部寻优能力。

自适应对偶种群和子代产生规则，父代种群为{xi}，其中i=1，2，…，N，xk是最佳个体，经过遗传操作，产生新种群{yi}，以父代最佳个体 xk为中心对称点，得到{yi}关于xk的对偶种群{zi}，如果{zi}中存在个体在可行搜索区域外则随机生成一个搜索区域内的新个体，选择两对偶种群的适应度前50%个体做为子代种群。这种规则的优势在于，其一，利用父代的最佳个体为中心对称点，而不是直接用遗传操作后的子代取代父代，保证搜索的有效性，避免计算资源的浪费；其二，用一个对偶种群来保证种群多样性，避免算法因种群多样性缺失导致的算法早熟。

图1 终止规则函数曲线Fig.1 Curve of termination rule function

改进后的算法具体过程：

（1）初始化参数，确定种群大小N，交叉概率Pc，变异概率Pm，精度参数函数的相关常数a、b、c、d。

（2）初始化种群{xi(t)}，对种群个体编码、解码，计算其适应值，找出种群最优个体xk(t)。

（3）对种群{xi(t)}做选择交叉变异操作，产生新种群{yi(t)}。

（4）确定新种群关于 xk中心对称的对偶种群{zi(t)}。如果{zi(t)}中有个体不在搜索区域内，则随机生成一个搜索区域内的新个体替代该个体。选择两对偶种群的最优 50%个体做为子代{xi(t+1)}，并中找出子代最优个体xk(t+1)。

（5）更新参数（迭代次数i，精度函数ε(i)）。

（6）终止条件判断，如果满足，则算法终止；否则令新产生的子代做为下一次迭代的父代返回步骤 3。

3 算法测试及结果分析

为测试改进算法的性能，选取下式所示的具有三个自变量的优化问题进行仿真实验，目标为全局最小值，优化问题为

X=（x1，x2，x3，）与f(x)分别是自变量与目标函数。这是一个比较复杂的目标函数，在自变量的变化范围内总共有512个极小值点，其最小值点X=（20，20，20），最小值f(x)=3。

为了验证方法的有效性，设置种群大小为20，交叉概率0.7，变异概率0.2，算法控制精度函数常数a、b、c、d分别为1e-2、1e-6、10、9，采用本文所提出的算法连续进行50次仿真实验，结果均收敛于全局最优点附近，其平均收敛于全局最小点所需要的迭代次数约为27次，则其函数调用次数约为1100次。选择迭代次数接近平均水平的实验结果做为分析对象，其迭代过程中的种群适应度变化如图2所示。

图2 数学问题种群适应度变化曲线Fig.2 Curves of mathematical problem’s population fitness

搜索到的最佳自变量X=(19.999，20.000，19.9961)，目标函数最小值f(x)= 3.0001。多次随机运行，算法都能经过较少的迭代次数搜索到高精度的全局最优解，足够说明算法的稳定和高效。

针对同样的问题，文献[8]中所记录的遗传算法与可控交叉遗传算法进行优化计算，将三种方法的优化结果与函数调用次数做比较（见表1）。

表1 三种算法结果比较Tab.1 Comparison of three kind of algorithms

4 超导磁储能系统优化设计

Team Workshop Problem是国际计算电磁学界的学者和研究者提出的一系列以相关工程问题为背景的基准问题，借以校验比较各种算法的正确性和有效性。其中22问题为超导磁储能（Superconducting Magnetic Energy Storage，SMES）系统优化设计问题[9,10]。SMES系统是利用 SMES装置将交流电网供电，励磁所产生的磁场能量储存起来，在需要时再将储存的磁场能量回馈交流电网或其他用途。

如图3所示，SMES线圈为双螺管结构，其中一个位于内侧的主线圈，另一个位于外侧的屏蔽线圈。三参数问题中主线圈尺寸 r1，h1，d1固定，屏蔽线圈尺寸为待优化的变量 r2，h2，d2，两个线圈施加相反方向电流。SMES装置优化设计时主要考虑如下因素：

图3 轴对称平面内SMES线圈结构示意图Fig.3 Coil structure diagram of SMES in axisymmetric plane

（1）装置储能180MJ。

（2）远离装置10m处的漏磁应尽可能小。

（3）磁场不能违背确保超导性的物理条件。

三参数问题，两个线圈的电流密度为定值2 2.5A/mm2，为保证超导体不失超，磁感应强度应满足|Bmax|≤4.92T。

利用已知条件得到该问题的数学模型为

使用有限元分析软件计算SMES问题中的电磁场及装置储能，开发一个Matlab与Ansys的软件接口，实现Matlab调用Ansys计算并能提取计算结果，即能正常运用编写好的 Matlab自适应对偶种群遗传算法程序优化该问题。设置权系数均为 1，种群大小为20，交叉概率0.7，变异概率0.2，算法控制精度函数常数a、b、c、d分别为1e-4、1e-6、10、9，使用本文算法优化超导磁储能系统，迭代46代找到问题最优解（ 3.0879，0.5001，0.3746），此时，装置对周围磁场环境影响指标为7.7249E-07，装置储能Energy为1.7997E+08，函数适应度为0.0858。此时SMES轴对称平面矢量磁位线如图4所示。

图4 最优解条件下SMES线圈矢量磁位线分布Fig.4 Magnetic vector potential line distribution of SMES coil in optimal size

图5为本算法处理SMES系统优化设计问题迭代过程中最佳适应度函数的变化曲线，表2为本文算法与文献[11，12]针对 SMES问题优化的结果比较。从图表的结果分析，本文算法以更小的计算代价求得更加精确的全局最优解，可见提高了算法搜索的效率、加快了算法的收敛速度。

图5 SMES问题种群最佳适应度变化曲线Fig.5 Curves of SMES problem’s population best fitness

表2 四种算法结果比较Tab.2 Comparison of four kind of algorithms

5 结论

电磁场逆问题计算时间冗长是制约其工程应用的瓶颈问题，如何提高优化算法的搜索效率使之能够更快更好的搜索到全局最优解是电磁场逆问题的核心问题。为改进遗传算法算法早熟和局部寻优能力不足，本文提出自适应对偶种群遗传算法。典型数学问题和超导磁储能系统优化设计问题多次计算结果表明，本文算法能快速收敛到全局最优解，在一定程度上改进了标准遗传算法的不足加快了电磁场逆问题的计算速度。

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