高峰

对于解二元一次方程组，我们通常采取逐步“消元”的策略，变“多元”为“一元”，从而达到求解的目的.因此，抓住方程组的特点，灵活运用“消元”的策略，有助于变“多元”为“一元”.下面介绍几种方法，希望同学们能从中得到启发.

一、整体代入消元

例1 解方程组3x+2y=1，①2x+4y=-2. ②

分析：方程组中y的系数成倍数关系，把①变形为2y=1-3x，并将其看作一个整体代入②中，可直接消去y.

解：由①得2y=1-3x. ③

把③代入②，得2x+2（1-3x）=-2，解得x=1.

把x=1代入③，得y=-1.

∴x=1，y=-1.

点评：当方程组中某一未知数的系数成倍数关系时，把其中系数的绝对值较小的方程进行变形后，把它看成一个整体代入另一个方程，可直接消去一个未知数，达到消元的目的.

二、整体加减转化后再消元

例2 解方程组3x+2y=7， ①2x+3y=8. ②

分析：本题中未知数x、y的系数的和均为5，而差的绝对值为1，可用加减法将原方程组转化为较简单的方程组，再求解.

解：由①+②，得5x+5y=15.

化简，得x+y=3. ③

由①-②，得 x-y=-1.④

由③+④，得2x=2，∴x=1.

将x=1代入③，得y=2.

∴x=1，y=2.

点评：当未知数的系数的和或差的绝对值相等时，可先用加减法将原方程组转化为较简单的方程组，然后再求解.

三、先设比值后消元

例3 解方程组■=■， ①3x+4y=32. ②

分析：可以将方程①进行化简，再用代入消元或加减消元法求解，但运算量较大. 可考虑设比值消元，即用另一个字母代替x、y，求解时就会有意想不到的效果.

解：把方程①看成比例式，设其比值为k，即设■=■=k.

可得x=5k-1，y=2k+3，

代入②中，得3（5k-1）+4（2k+3）=32，解得k=1.

所以原方程组的解是x=4，y=5.

点评：在方程组中，当一个方程是比例式时，一般采用设比值法.

四、先换元后消元

例4 解方程组

■+■=2 ， ①■=■-3 . ②

分析：方程组的结构虽然比较复杂，但有一定的规律：方程②可化为■=■-3 ，这样方程组中的两个方程都含有（2x+3y）和（3x+2y），所以考虑设2x+3y=m，3x+2y=n，这样就可以化复杂为简单，从而能快速、准确地求解.

解：根据方程组的结构特征，设2x+3y=m，3x+2y=n，则原方程组可化为■+■=2， ■=■-3.

再把■、■看成一个整体，易得m=2，n=5，则2x+3y=2，3x+2y=5.利用整体加减法，易得原方程组的解为x=■，y=-■.

点评：当方程组中方程的结构比较复杂，且有某些式子的结构相同时，可以考虑用换元法.

五、先消常数项后消元

例5 解方程组■+■=1， ①■+■=1. ②

分析：观察方程组中的两个方程发现，如果用基本方法对方程进行化简，会比较繁杂.由于方程组中的两个方程的常数项相等，故可以用消去常数项的方法求解.

解：由①-②，得■+■=0，即y=-2x.

把y=-2x代入①中，得■-■=1，解得x=-6，故y=12.

所以原方程组的解为x=-6，y=12.

点评：当二元一次方程组中的两个方程的常数项相等时，可以采用消去常数项法得到关于x、y的关系式，然后将此关系式代入原方程进行求解.

总之，在解二元一次方程组时，合理选择恰当的方法至关重要，同学们一定要根据方程的结构和系数特征，具体问题具体分析，使问题得以快速解决.