赵宝福，张艳菊

辽宁工程技术大学工商管理学院，辽宁葫芦岛 125105

要素双重模糊下的合作博弈Shapley值的算法

赵宝福，张艳菊

辽宁工程技术大学工商管理学院，辽宁葫芦岛 125105

1 前言

相比于非合作博弈研究局中人的具体结盟对策，经典的合作博弈研究的是联盟最终形成及联盟内部的公平收益分配。Shapley值是合作博弈理论上的一种解的表达式。

经典合作博弈存在以下两个严格假设：局中人至多加入一个联盟且局中人完全地加入某个联盟；联盟支付事前已知。可是在实际中，局中人有时可以以不同的参与度参加到不同的联盟中，并且他们不同合作策略选择下的收益也具有不确定性。为了更好地将博弈论应用到实际生活中，国内外学者展开了模糊合作博弈理论研究。

到目前为止，国内外学者主要围绕以下两方面进行研究：

（1）仅参与度模糊的模糊合作博弈（也称为联盟模糊的模糊合作博弈）。主要成果：Aubin[1]正式提出了模糊合作博弈的概念；Butnariu[2-3]对模糊Shapley值给出了定义，但是该定义未能很好地满足现实的应用需求；Tsurumi[4]在前人研究的基础上构造了一个具有Choquet积分的模糊Shapley值，该构造既单调非减又连续；文献[5]将局中人的联盟隶属度表示为介于[0，l]区间的三角模糊数，该研究未考虑模糊被测函数下的Choquet积分计算中的一个重要问题，即不同置信水平下模糊隶属度截集的排序问题。

（2）仅具有模糊支付的模糊合作博弈。主要成果：Mares[6-7]拓广了原有的模糊合作博弈，指出带有模糊支付的合作博弈也是模糊合作博弈的一种形式，按照传统的Shapley值定义了模糊Shapley值，但是，他定义的模糊Shapley值无法满足Shapley提出的三条公理；Aarts[8]等从集合论的角度，研究了合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值得到了拓展和延伸；文献[9]利用区间数运算的性质，拓展了传统Shapley函数满足的三条公理，提出了联盟支付为区间数的Shapley函数形式，该研究对本文的研究起到一定的启发作用。

模糊合作博弈除了以上两部分内容之外，还应包括具有模糊支付和模糊参与度的模糊合作博弈。Borkotokey[10]构建了带模糊支付和模糊联盟的模糊合作博弈的基础理论框架，并对其进行了初步分析。孟凡永、张强[11]定义了模糊支付下具有Choquet积分形式的模糊合作博弈，提出了该模糊合作博弈下具有Choquet形式的Shapley值。该研究本质上是带模糊支付的合作博弈，局中人相对于合作的隶属度仍为实数。邹珍珍[12]仅提出了该模糊合作博弈的思想，支付函数以及Shapley函数等问题都未提及。

综上所述，目前对于具有模糊支付和参与度模糊的模糊合作博弈的研究只是提出了这个理念，尚未有人进行全面研究，究其原因是该研究涉及到模糊数的运算及模糊数的排序，以往基于扩张原理的模糊数的排序和运算存在遍历性，非常复杂。本文利用模糊数学相关理论，在Choquet积分形式的基础上，将支付函数和参与度拓展为模糊数，给出要素双重模糊下的模糊合作博弈的定义及其Shapley值的定义。应用模糊结构元理论[13-17]，构造了要素双重模糊下的模糊合作博弈的模糊Shapley值，使模糊Shapley值的隶属函数得到解析表达。该研究使得模糊Shapley值的表达易操作、推广，必将使模糊合作博弈理论在现实应用中发挥更充分的作用。

2 传统合作博弈的Shapley值

合作博弈是局中人在竞争中为取得自己的最大利益而进行决策分析的模型。在合作博弈的过程中，局中人需要考虑如何结成联盟及如何分配合作所取得的收益。

其中，k为联盟K中的人数，n为局中人的个数。φ(ν)=(φi(ν)),i∈I，为Shapley值向量，简称Shapley值，它是支付函数ν的单调非减函数，在满足超可加性的合作博弈中表示某一确定的分配。

3 基于模糊结构元的模糊数表示及模糊数排序

设E为实数域R上的模糊集，隶属函数记为E(x)，x∈R。如果E(x)满足下述性质：（1）E(0)=1；（2）在区间[-1，0)上E(x)是单增右连续函数，在区间（0，1]上是单降左连续函数；（3）当x＜-1或者x＞1时，E(x)=0。则称E为R上的模糊结构元。

若模糊结构元E满足：（1）∀x∈(-1，1)，E(x)＞0；（2）E(x)连续，且在[-1，0)上严格单增，在（0，1]上严格单降，则称E为正则的；若E(-x)=E(x)，称E为对称的。

定理1[15]设E是R上的任意模糊结构元，具有隶属函数E(x)，f(x)是[-1，1]上单调有界函数，则f(E)是R上有界闭模糊数。反之，对于给定的正则模糊结构元E和任意的有界闭模糊数A~，总存在一个[-1，1]上的单调有界函数f，使得A~=f(E)，称模糊数A~是由模糊结构元E生成的。

定理2[15]若模糊数A~=f(E)，则A~的隶属函数为E(f-1(x))，这里f-1(x)是f(x)关于变量x和y的轮换对称函数（若f(x)是连续严格单调的，则f-1(x)是f(x)的反函数）。

上述定理的证明可参见文献[13-17]。

例如，对于三角模糊数A~=(a，b，c)，取模糊结构元E，其隶属函数为：

定理3[15]设E是对称模糊结构元，如果f和g是[-1，1]上两个同序单调函数（不妨假定都是单调增函数），模糊数A=f(E)，B=g(E)，fτk是f的同序变换，则有如下结论：

（1）A和B是任意有界模糊数，则A+B=(f+g)(E)，具有隶属函数：

模糊数可按照该定义进行比较排序，详尽内容请见参考文献[18]。

4 要素双重模糊下的模糊合作博弈定义、性质及Shapley值

5 模糊Shapley值的结构元表示

证明证明过程同定理6，此处略。

6 结构元线性生成的模糊Shapley值表达式

证明证明过程同结论1，此处略。

7 算例

假设局中人a1、a2、a3三家企业欲合作一项目，如果局中人独立完成，则a1可获利约为100万元，a2、a3分别可获利约为200万元；如果a1、a2合作、a1、a3合作分别可获利约为600万元，如果a2、a3合作可获利约为800万元，如果a1、a2、a3合作可获利约为1 200万元。a1、a2、a3参与该项目的参与度分别约为0.2、0.4、0.6。上述预期收益用三角模糊数表示为：

根据定理7，要素双重模糊下的模糊合作博弈的局中人a1的Shapley值计算过程为：

8 结论

在前人提出具有模糊支付和模糊参与度概念的基础上，本文基于Choquet积分，将支付函数和参与度拓展为模糊数，给出要素双重模糊下的模糊合作博弈的定义和要素双重模糊下的模糊合作博弈Shapley值的定义。应用模糊结构元理论，构造了要素双重模糊下的模糊合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值的隶属函数得到解析表达。从算例可以看出该研究使得模糊Shapley值的表达易操作、推广，必将使模糊合作博弈理论在现实应用中发挥更充分的作用。

[1]Aubin J P.Cooperative fuzzy games[J].Mathematical Operation Research，1981，6：1-13.

[2]Butniariu D.Fuzzy games：a description of the concept[J]. Fuzzy Set and System，1978，1：181-192.

[3]Butnariu D.Stability and Shapley value for an n-persons fuzzy gaimes[J].Fuzzy Set and System，1980，4：63-72.

[4]Tsurumi M，Tanino T，Inuiguchi M.A Shapley functicn on a classofcooperativefuzzygames[J].EuropeanJournalof Operational Research，2001，129：596-618.

[5]逄金辉，陈秋萍.基于模糊机会约束的博弈联盟收益[J].北京理工大学学报，2010，30（11）：1383-1386.

[6]Mares M.Fuzzy Shapley value[C]//Proceedings of Transactions of IPMU 2000，Madrid，2000：1368-1372.

[7]Mares M.Fuzzy cooperative games：cooperation with vague expectations[M].New York：Physica-Verlag Press，2001.

[8]Arts H，Hoede C，Funaki Y.A marginalisitc value for monotonic set games[J].International Journal of Game Theory，1997，26：97-111.

[9]于晓辉，张强.模糊合作对策的区间Shapley值[J].中国管理科学，2007，15（Z1）：76-80.

[10]Borkotokey S.Cooperative games with fuzzy coalitions and fuzzy characteristic functions[J].Fuzzy Sets and Systems，2008，159（2）：138-151.

[11]孟凡永，张强.具有Choquet积分形式的模糊合作对策[J].系统工程与电子技术，2010，32（7）：1430-1436.

[12]邹珍珍.不完全信息模糊合作博弈特征函数研究[D].辽宁大连：大连理工大学，2011.

[13]郭嗣琮.模糊分析中的结构元方法（I）[J].辽宁工程技术大学学报，2002，21（5）：670-673.

[14]郭嗣琮.模糊分析中的结构元方法（II）[J].辽宁工程技术大学学报，2002，21（6）：808-810.

[15]郭嗣琮.模糊实数空间与[-1，1]上同序单调函数类的同胚[J].自然科学进展，2004，14（11）：1318-1321.

[16]郭嗣琮.[-1，1]上同序单调函数的同序变换群与模糊数运算[J].模糊系统与数学，2005，19（3）.

[17]Guo Sizong.Fuzzy analysis and calculate based on structured element，appliedcompuationalintelligence[C]//Proceedings of the 6th International FLINS Conference.[S.l.]：World Scientific Publishing Co Pte Ltd，2004：128-134.

[18]刘海涛，郭嗣琮.基于模糊结构元表述的模糊数排序[J].模糊系统与数学，2010，24（5）：61-67.

[19]Tsurumi M，Tanino T，Inuiguchi M.A Shapley function on a class of cooperative fuzzy games[J].European Journal of Operational Research，2001，129：596-618.

ZHAO Baofu,ZHANG Yanju

School of Business Administration,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

Considering that in the practical applications,the player can attend different league with the different participation,and they don’t sure benefits before cooperation under different cooperation strategy choice,the paper uses fuzzy mathematics theory in the traditional cooperative game.This paper expands benefits and participation as fuzzy numbers based on the Choquet integral and gives the definition of fuzzy cooperative games and fuzzy Shapley value with dual fuzzy factors.The fuzzy structured element theory is applied to analyze fuzzy cooperative games with dual fuzzy factors.The membership function of the fuzzy Shapley value can get analytic expression.An example is used to illustrate the specific application of the model.It can be seen that this method and conclusion is easy to master and promote.Fuzzy cooperative game theory can be applied more widely to real life.

cooperative games;fuzzy mathematics;Shapley value;structured element

考虑到现实应用中，局中人可能以不同的参与度参加到不同的联盟中，并且他们在合作之前不确定不同合作策略选择下的收益，则在传统合作博弈中应用模糊数学理论。基于Choquet积分，将支付函数和参与度拓展为模糊数，给出要素双重模糊下的模糊合作博弈的定义和模糊合作博弈Shapley值的定义。应用模糊结构元理论，构造了要素双重模糊下的模糊合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值的隶属函数得到解析表达。通过一个算例，来说明该模型的具体应用。可以看出，该研究方法和结论易掌握、推广，使模糊合作博弈理论可以更广泛地应用到现实生活中。

合作博弈；模糊数学；Shapley值；结构元

A

TP301

10.3778/j.issn.1002-8331.1306-0123

ZHAO Baofu,ZHANG Yanju.Algorithm of Shapley value for cooperative games with dual fuzzy factors.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：25-30.

国家自然科学基金（No.71201012）；教育部人文社会科学研究规划基金（No.12YJC630071）；葫芦岛市科技局研究项目。

赵宝福（1957—），男，教授，博士生导师，研究方向：模糊决策理论与应用，区域经济学股份制经济等；张艳菊（1983—），通讯作者，女，博士研究生，研究方向：模糊决策理论与应用，区域经济学等。E-mail：juzi2002@126.com

2013-06-12

2013-08-01

1002-8331（2013）19-0025-06

CNKI出版日期：2013-08-05http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130805.0943.002.html

◎理论研究、研发设计◎