高喜花

（河南水利与环境职业学院，河南郑州450011）

浅谈复变函数的可微性与解析性

高喜花

（河南水利与环境职业学院，河南郑州450011）

本文主要介绍复变函数的可微性与解析性，并利用柯西－黎曼方程推出它们成立的充分条件、必要条件和充要条件，最后归纳总结出复变函数的可微性与解析性的联系与区别.

复变函数；可微性；解析性；解析函数；柯西－黎曼方程

在复变函数教学中，解析函数是复变函数论研究的主要对象，它是一种具有某种特性的可微函数.函数的解析性与可微性是一个学习重点，也是易混淆的学习难点.文章对这部分内容进行了思考总结，指出复变函数可微性与解析性的联系与区别，从而有利于更好地理解和掌握复变函数.

1 复变函数的可微性

1.1 复变函数可微性的定义

定义1.1设函数w=f(z)在点z0的邻域内（或含z0的区域D内）有定义，若极限

存在，则称此极限为函数f(z)在点z0的导数，记为f'(z0)这时也称f(z)在点z0可导.

定义1.2若函数w=f(z)在点z0可导，则称f'(z0)Δz为函数w=f(z)在点z0的微分，记为

即

此时也称f(z)在点z0可微.

特别地，当f(z)=z时，dz=Δz，于是(1.2)变为

即

由此可见，在复变函数中f(z)在点z0可导与f(z)在点z0可微是等价的.

函数由f(z)在点z可导与可微的概念与数学分析中的可导与可微这两个概念相类似，因此数学分析中求导基本公式，均可类似地推广到复变函数中来.同时，与数学分析中一样，函数f(z)在点z可微，则f(z)在点z连续，反之不一定成立，但在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的……