曹正芳

（湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062）

φ混合序列乘积和的强大数定律

曹正芳

（湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062）

建立了φ混合序列的矩不等式，利用这个不等式得到了φ混合序列的三级数定理及乘积和的强大数定律。

φ混合序列；三级数定理；乘积和；强大数定律

1 预备知识

设{Xn，n≥1}是定义在概率空间(Ω，F，P)上的随机变量序列，记为σ域，其中N为自然数集，记Lp(F)为所有F可测且 P阶绝对矩有限的随机变量全体。在 F中给定σ域B和R，令

对于随机变量序列{Xn，n≥1} ，如果有 φ(n)=则称{Xn，n≥1} 为 φ混合序列。

φ混合序列的概念由Dobrushin［1］于1956年在研究马氏过程中引入，由定义可知φ混合序列是一类非常广泛的随机变量序列。通常的独立随机变量序列可看成是φ混合序列的特殊情形，因此对于φ混合序列的研究十分困难。自从引入了φ混合序列的概念，不少学者研究了φ混合序列的大数定律，获得了类似于Marcinkiewicz强大数定律［2-3］。近年来，一些学者开始研究不同分布的混合序列的大数定律［4-5］。本文主要在的条件下构造φ混合序列的矩不等式，用这个不等式得到φ混合序列的三级数定理及乘积和的强大数定律。

本文约定：以下出现的C总表示正常数，它在不同的地方可以代表不同的值。

引理1［4］设为φ混合序列，X∈ Lp()，Y∈Lq(F)，其中 p，q≥1且1/p+1/q=1，则

引理2［6］对任意的实数列{Xn，n≥1}，及对任意的n≥m≥1，有

特别地，对任意的n≥1，有

证明 由引理1，取 p=q=2，得到

再由文献［7］可知（1）式成立。

2 主要结果及其证明

定理1 设{Xn，n≥1}为 φ混合序列，满足假设

证明 不失一般性，假设 EXn=0，n≥1，又设m＜n为正整数，由（3）、（4）式得

即{Sn，n≥1}是 L2中的Cauchy序列。故存在一个随机变量 S∈L2，使得亦即因此存在一个正整数nk→∞，使得Snk→S a.s.，k→∞。由子序列构造法，只需证明

事实上，对任意的ε＞0，由Markov不等式及（2）、（4）式得(令n0=0)

由Borel-Cantelli引理知（5）式成立。

定理1得证。

（i）gn(x)在(0，∞)内单调不减，且当0＜x≤1时，gn(x)≥λxθ(0＜θ≤1)；

其中0＜α≤1，β≥1。

同时对于正常数序列{an，n≥1}，满足an↑∞，及当 p∈[1，2)时，若

进一步地，对任意的m≥1，

证明 先证（9）式。令Xn′=XnI(| Xn|＜)，则故仍为φ混合序列。

在条件（i）下，gn(x)在(0，∞)内不减，以及gn(1)≥λ。

因此由Borel-Cantelli引理及条件（i）、（ii），得到随机变量序列{Xn，n≥1}、{Xn′，n≥1}是尾列等价的。

于是要证（9）式成立，只需证明

仅在条件（ii）下给出证明过程，在条件（i）下证明类似。

首先，对任意的n≥1，

所以由Kronecker引理知

于是，只需证明

由于

故（9）式成立。

接下来，对给定的m≥1，由引理2可知，欲证（10）式成立，只需证明对任意的1≤r≤m，都有

由Cr不等式得

从而要证（13）式对r=1，2，…，m成立，只需证明（13）式对 r=1，2成立即可。其中当 r=1时，上述已证。当r=2时，由Borel-Cantelli引理及（11）式，只要证

于是，由Kronecker引理知（14）式成立。

综上所述，定理3得证。

推论1 设{Xn，n≥1}为 φ混合序列，满足是正常数序列，满足an(x)↑∞，同时下列条件之一成立：

①当0＜r＜1时，有

②当1≤r≤2时，有

且EXn=0，n≥1，则

进一步地，对任意的m≥1，有

证 明 当条件①成立时，取 gn(x)= |x|r/(1+|x|r)，0＜r＜1；当条件②成立时，取gn′(x)=|x|r/(1+|x|r-1)，1≤r≤2。那么对任意的n≥1，gn(x)、gn′(x)均为偶函数，且在(0，∞)内取正值，不减，并且 gn(x)≥xr/2，0＜x≤1，0＜r＜1；gn′(x)≥xr/2，0＜x≤1，1≤r≤2；gn′(x)≥x/2，x＞1。

因此，若满足条件①，则

若满足条件②，则

于是由定理3可知推论1成立。

由推论1可得：

推论2 设{Xn，n≥1}为 φ混合序列，满足是正常数序列，满足且当r∈(1，2]时，EXn=0，n≥1，则（15）、（16）式成立。

［1］ Dobrushin R L.The central limit theorem for non-sta⁃tionary Markov Chain［J］.Theorey Probab Appl，1956（1）：72-88.

［2］ 薛留根.混合序列强大数定律的收敛速度［J］.系统数学与科学，1994，14（3）：213-221.

［3］ 万成高，陈芬.一类相依随机变量序列乘积和的Mar⁃cinkiewicz型强大数定律［J］.数学研究，2008，41（2）：168-174.

［4］ 林正炎，陆传荣.混合相依变量的极限理论［M］.北京：高等教育出版社，1997.

［5］ 吴群英.混合序列的概率极限理论［M］.北京：科学出版社，2006.

［6］ 王岳宝，严继高，成凤旸，等.关于不同分布的两两NQD列的Jamison型加权乘积和的强稳定性［J］.数学年刊，2001，22A（6）：701-706.

［7］ Shao Q M. Almost sure invariance principles for φ-mixing sequences of random variables［J］.Stochas⁃ticProcessesand TheirApplications，1993，48：319-334.

Strong Law of Large Numbers of Sum of Products for φ-mixing Sequence

CAO Zheng-fang
（School of Mathematics and Computer Science，Hubei University，Wuhan 430062，Hubei，China）

Studies the moment inequalities forφ-mixing sequence，with the moment inequali⁃ties，obtains the three series theorem forφ-mixing sequence and the strong law of large numbers of sum of products.

φ-mixing sequence；three series theorem；sum of products；strong law of large numbers

O211.4

：A

：1673-0143（2013）02-0010-04

（责任编辑：强士端）

2012－12－17

曹正芳（1986—），女，硕士生，研究方向：金融数学。