张 晓 娟

(渭南师范学院a.物理与电气工程学院;b.X射线基础研究中心，陕西渭南714000)

光子晶体最基本的特征就是存在光子带隙(photonic bandgap，简称PBG)，落在PBG中的电磁波，无论其传播方向如何，都是被禁止传播的.设计性能良好、易控制的PBG非常重要，一般来说，光子晶体的PBG越宽，其性能越好.设计大PBG光子晶体的方法主要是针对某个特定的晶格结构，通过调控其结构参数来实现大PBG优化［1-5］，这就限制了优化和设计大PBG研究工作的进一步开展.而影响PBG宽度的因素很多，如晶格结构、材料介电常数、晶格常数、原子半径及缺陷类型等.本文主要采用平面波法［6-7］，详细分析影响三角晶格PBG的因素.

1 周期性三角晶格的PBG

对于三角结构晶格中的圆形原子，其单位元为平行四边形，介电常数在倒格子空间的分布不能直接通过倒格矢得到，只能应用数值快速傅里叶变换FFT算法得到.而FFT一般仅用于处理正交空间的问题，要解决非正交空间问题，需要经过坐标变换将非正交坐标系变换到正交坐标系.

三角晶格［8-9］的晶格模型如图1(a)所示.图1(b)为三角晶格的第一布里渊区，图1(c)为三角晶格单位元，对应的单位元经过坐标变换，由非正交坐标系变换到正交坐标系中，得到如图1(d)所示的单位元.Γ、X、M定义了第一布里渊区的基矢量，波矢量k取如图1(b)所示的黑色区域边界.

三角晶格基矢量的选择和正方晶格有所不同，为

图1 二维三角晶格

为了方便比较［10］，选择εa=11.56(磷化铟)，εb=1(背景材料为空气)，R=0.20a，计算得到周期性三角晶格光子晶体的PBG分布，如图2所示.图中斜线框所示区域为对应的PBG，以下相同，不再重复说明.可以看出，TM波在归一化频率0.28～0.45之间形成PBG，而TE波在归一化频率0.8248～0.8736之间形成PBG.虽然各自都存在PBG，但是相互之间没有重合，不存在完全PBG.即同一种结构的光子晶体，对于同一入射方向不同模式的入射光波的调制不同.这与正方晶格的结果［8］一致.

图2 二维三角晶格的PBG分布

2 原子半径R对PBG的影响

选择εa=11.56，εb=1.0，讨论原子半径R不同对PBG的影响.结果如图3(a)所示，其中竖线和点线围起来的区域分别为TM波和TE波所形成的PBG.可以看出，相对于正方晶格而言，三角晶格所形成的PBG更宽，而且，TE波传输时存在PBG，不过仅在R/a比值为0.2附近出现.如果选择εa=1，εb=11.56，则其PBG随原子半径的变化曲线如图3(b)所示，图中竖线区域为TE波形成的PBG，点区域为TM波对应的PBG.可以看出，TE波和TM波在R/a比值0.41之后存在完全PBG，和(a)情况相反，TE波相比TM波更易形成PBG，且TM波对应的PBG范围较窄，仅在空气孔尺寸比较大的情况下.

图3 二维三角晶格中PBG随原子半径R的变化

3 原子介电常数εa对PBG的影响

选择R=0.20a，εb=1，改变εa，得到的PBG如图4所示.其中竖线和点线所围区域分别为TM波和TE波形成的PBG.可以看出，TM波和TE波各自形成独立的PBG，但不重合，不存在完全PBG.且随着原子介电常数的增加，TM波的PBG宽度逐渐增加，TE波的PBG宽度逐渐减小.

图4 原子介电常数εa对PBG的影响

4 点缺陷对PBG的影响

这里主要讨论两种点缺陷三角结构光子晶体，如图5所示.其中图5(a)为中心去掉一个原子的实心结构，(b)为填充一个大空气孔的空心光子晶体结构.选择参数εa=11.56，εb=1.0，R=0.20a，中心大空气孔半径R1=0.70a.应用超元胞和傅里叶变换等基本理论来实现程序的设计，计算实心三角晶格的PBG，为了清楚地说明问题，这里我们将TM波、TE波所形成的PBG分别做出，结果如图6所示.其中图6(a)和(b)分别为TM波和TE波所形成的PBG，图6(c)是将两者做在一个图上的效果.可以看出，相比没有缺陷的周期性结果(如图2)，TM波在原来的PBG中间形成了一个通带，TE波PBG对应的归一化频率降低，如图6(c)所示，形成了两个完全PBG，对应归一化频率范围为0.4158～0.4183及0.4674～0.4869.这与正方晶格的结果有很大不同.

(a)TM波;(b)TE波;(c)TM和TE波

计算得到空心三角晶格的PBG分布如图7所示.同样图7(a)和(b)分别为TM波和TE波所形成的PBG，图7(c)是将两者做在一个图上的效果.可以看出，TM波在PBG中间位置增加了三个通带，TE波PBG的归一化频率也降低，形成三个较窄的PBG，这样入射到光子晶体的光波总可以形成如图(c)所示的三个完全PBG.但相比较而言，其完全PBG的宽度比实心三角晶格的要窄.

图7 空心三角晶格的PBG分布

5 线缺陷对PBG的影响

在周期性三角晶格光子晶体中去掉中心一排原子，形成如图8(a)所示的线缺陷三角晶格结构.仍选取结构参数εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，得到其能带分布如图8(b)所示.可以看出，不同于正方晶格线缺陷，在光子禁带中间增加了两个通带，但其归一化频率范围很宽，几乎覆盖整个禁带.

图8 二维三角晶格线缺陷结构及其PBG分布

6 结论

采用平面波法对不同二维三角晶格光子晶体的PBG进行了分析.结果表明，相比正方晶格，三角晶格分布的光子晶体更易形成光子带隙，但一般TM波和TE波所形成的光子带隙并不重合，为了获得完全光子带隙，最好的方式是在周期性光子晶体中引入缺陷.

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