王金水

摘 要：由问题驱动教学，用数学活动经验激活学生思维兴奋点、追求最优化思维、变式提高、错题剖析等出发论证提高学生有效数学思维量的作用，得出今后课堂教学应走向务实高效的几种有效途径.

关键词：有效；数学思维；数学活动经验；高效率；最优化

课堂教学是学校教育的核心，高效率的课堂教学是当前教学改革的重要追求.数学思维是人脑和数学对象交互作用，并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动.如何才能上出一节高效数学课呢？有些教师认为，容量大、涉及知识点多、学生练习多的课堂，就是一节“好”课.我认为有效的数学教学应体现目标达成的有效性，主体参与的有效性，知识建构的有效性，师生互动的有效性，学生发展的有效性，等等.现从培养学生有效数学思维的几种途径加以分析与探讨.

一、利用已有“数学活动经验”培养有效数学思维

现代心理学研究表明，有效的学习是建立在学生原有知识和经验的基础之上的，没有学生的主动参与，没有学生原有知识和经验的建构，脱离学生知识经验的灌输，其学习都是低效的.随着新课程改革不断深入，数学教学的内涵有了新的发展.有学者指出，在数学教学过程中，让学生积累“数学活动经验”能提高有效数学思维量.

例1.王老师的一张平行四边形纸片不小心被自己的小孩撕去了一些，巧的是刚好从B、D

两个顶点撕开，如图1所示.你能帮他补全平行四边形吗？问题提出不久，许多学生就跃跃欲试，分别表述了各自的方法.

方法1：过点B作AD的平行线BE，过点D作AB的平行线DF，交BE于点C，四边形ABCD就是所要作的平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；

方法2：过点B作AD的平行线BE，并在BE上截取BC=AD，连接CD，四边形ABCD就是所要作的平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

方法3：连BD，取BD的中点O，连结AO并延长到点C，使AO=OC，再分别连结BC、CD，四边形ABCD就是所要作的平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

方法4：分别以点B、点D为圆心，以AD、AB为半径画弧，两弧交于点C，连结BC、CD，四边形ABCD就是所要作的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；

在学生用不同的方法补全平行四边形后，因为有上述情境的铺垫，学生很快便完成了以下表格的填写.

■

教学中的设计要具有一定的艺术性，创设富有新意的数学活动情境，以问题为出发点，唤起学生对知识的回忆，让学生感觉复习不再是“老生常谈”和对知识点的罗列，把学生的注意力吸引到复习教学中.由一个简单的问题入手，能使学生迅速进入学习状

态，而对方法背后的本质探讨，既凸显了本堂课的认知线索，也激发了学生进一步探究的兴趣与欲望，可谓低起点，高认知，深立意.因此，教师要立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，创造性地使用教科书，变“教书”为“用书教”，达到培养学生有效的数学思维的目的.

二、激活学生思维的兴奋点来培养有效数学思维

我们常常埋怨学生经启发、点拨后仍然无动于衷，或者讲过的题目学生还做错，究其原因是在我们的教学过程中学生的思维尚未进入“愤”“悱”状态，教师启发、点拨的“机”与“时”把握得不准。当学生的思维还没有进入焦灼状态时，我们就顺水推舟，这怎能对学生产生深远影响？点要点在临界点，只有创设一定的思维情境，引领学生的思维进入临界状态，点拨方能奏效.拨要拨在关键处，如果拨的时机过早，学生缺乏一定的主动思维，不能建构新旧知识的联系，达不到思路的接通效应，思维过程只是由老师直接强加给学生，我们称之为“被思维”或者“伪思维”.

例2.如图2，有一块塑料矩形ABCD，AD=10cm，AB=4cm，

将你手中足够大的直角三角板OEF的直角顶点O落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点O.

（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AO的长；若不能，请说明理由.

（2）再次移动三角板的位置，使三角板顶点O在AD上移动，直角边OE始终通过点B，另一直角边OF与DC延长线交于点

K，与BC交于点H，能否使CH=2cm？若能，请你求出这时AO的长；若不能，请你说明理由.

■

首先让学生独立思考，然后教师进行点拨.

问题（1）较为简单，大部分学生能独立完成.引导学生画出图3，由∠A=∠D=∠BOC=90°，可得△ABO∽△DOC，从而解决问题.

问题（2）由学生画出图4，再进行思考探究.教师巡视可以发现，大多学生思维受阻，这时就需要教师点拨.大家可以从图形中，寻找相似的三角形，如△KCH∽△KDO∽△OAB，然后通过方程思想来解决，此时学生可以开始进行深度探究了，个别环节师生共同完成.这个环节结束后，可以这样点拨：让学生借助相似并结合直角三角形勾股定理来解决.但由于这种方法非常麻烦，不宜让学生深入下去.那么我们应该怎么办呢？由于上述方案已经把问题的解决方法变复杂了，学生急于找出更好的方法，所以此时应该抓住时机，点拨学生能否从第一问中受到启发，利用化归的数学思想方法来解决这个问题.

在问题（1）的解决中，我们利用了△ABO∽△DOC，但此时直角三角形的另一边没有经过C点，而是经过了BC边上的H点，过H点作HG⊥AD，垂足为G，如图5，这样我们可以得到△BAO∽△OGH，接下来由学生完成思路的延续和问题的解决.

两种思路进行对比，学生发现原来如此，此时学生心情非常愉悦，思维也达到了兴奋的状态.这时教师继续点拨此类问题，在解决的过程中，图形发生了变化，如果能利用化归思想，往往可以更快速地解决问题.学生此时的收获就会很大，效率更高，超越一个题目自身的解决价值，发挥题目的最大价值，让学生有“欲罢不能”的解题欲望.

三、追求“最优化”来培养有效数学思维

寻求解决课堂教学中各种数学问题的方法，让学生易于接

受，即“最优化”途径，是数学教师的理想追求，但实际在解决数学问题的过程中，并不是人人都能如愿以偿的.在面对同一道数学问题时，一些学生往往会选择一种较为复杂的方法来做，而没有选择过程简明、思路清晰的方法，结果是艰难做出或者做不出.对于不同的班级，发现学生选择简捷做法的比例是不同的，这与教师平时是否注意培养学生数学思维的“最优化”有关.

例3.设x1、x2是方程x2-5x+3=0的两个根.m+x1（x22-6x2+3）=2009，

求m的值.

法一：如果能获得关于m的方程，也就是明确x1，x2的值，因为方程只有m是未知数，就能获解，这里x1，x2能求，但求出来是有理数根吗？

法二：显然不是！走这条道路显然运算量会很大，且要花大量时间，还是认真观察方程m+x1（x22-6x2+3）=2009的特点吧，有什么发现？我们看由一元二次方程的定义有x22-5x2+3=0，得x22-5x2=-3，又m+x1（x22-5x2-x2+3）=2009，有m+x1（-3-x2+3）=2009，于是m-x1x2=2009.再结合根与系数的关系x1x2=3，代入求出m=2012.

法三：有了上面的启发，我们可进一步作些优化.可以直接变形待求方程左边中的m+x1（x22-6x2+3）=m+x1（x22-5x2+3-x2），由根的定义有x22-5x2+3=0，所以m-x1x2=2009，再结合根与系数的关系

x1x2=3，代入可求出m=2012，代数式有目的的变形，特别是对“x22-5x2+3=0”“x22-5x2=-3”的整体认识，使问题得到突破.如果求出方程的根再代入求值，会陷入烦琐的运算，造成思维的混乱.

因此，我们应当充分认识到“最优化”思维的重要性，努力追求“最优化”的思维，习惯于获得“最优化”的解答，本质上是数学学习和解题的优良品质.我们在数学解题教学过程中，不能仅仅停留在引导学生进行解题知识的优化与储备、解题技能的提炼与熟练、解题策略的优化与类化等，更重要的是努力培养学生对“最优化”思维的追求，并让他们把“最优化”思维修炼并形成一种解题习惯.

四、围绕本质变式提高来培养有效数学思维

数学知识之间有着深刻的内在联系，包括各部分知识之间的纵向联系和横向联系.学生数学思维系统性水平的高低会直接影响数学学习的效果.日常教学中，我们常常看到一些数学教学活动总在“细枝末节”上“纠缠”，而淡化了对数学知识的本质认识和理解，学生不能深入地进行数学思维活动，数学教学活动也因此脱离了教学的本源.教者没有围绕本质去变式深化提高数学学习内容，实际上是培养有效数学思维观念的淡漠和缺失.

例4.如图6，已知？荀ABCD，M是对角线BD

上一点，EF∥AB，GH∥AD，若四边形MHCF面积为4，则四边形AGME的面积是多少？

学生经充分思考后得出：因为ABCD是平行

四边形，所以S△ADB=S△DCB，又AB∥CD∥EF，AD∥BC∥GH，这样就得到了？荀DEMH和？荀MGBF，所以S△DEM=S△MHD，S△MGB=S△BFM，所以

S四边形AGME=S四边形MHCF，所以S四边形AGME=4.解几何题就是要牢牢把握图形的本质，善于在已知条件中寻找隐含的等量关系.下面让我们一起来看一个变式.

变式1（图7），已知点M是RT△ABC中斜边AC上的一点，过M分别作MF∥AB交BC于F，MG∥BC交AB于G，若AG=3，CF=4，求四边形MGBF的面积.

由于这道题有点难度，过了一会儿学生还是没有反应，“不妨大家先大胆猜猜看，它的面积可能会是多

少？”部分学生回答12.“很好！合理的猜想常能启发我们解题的思路.既然认为此矩形的面积等于12，如果没有具体的数值，如何表示这个面积呢？”同学们回答说可以设元，“若设MG=a，GB=b，那么，问题就是证明ab=12.如何才能得到这个关系呢？请大家尝试一下.”巡视了一遍后，我发现许多同学都在尝试用勾股定理建立等量关系，但得不到需要的结果，这是为什么？“请大家认真思考一下，在这个图形中，怎样的等量关系可以出现ab？”用面积公式，即■·3a+ab+■·4b=■（4+a）（3+b），化简就得ab=12.“上述解题过程告诉我们，遇到困难时，一要大胆猜想，二要学会逐渐逼近目标.将几何问题代数化，是几何解题中的常见方法.但是，除了上面这个代数方法外，能否直接运用几何方法呢？”有位学生说还能用相似三角形的知识来做.容易得到△AGM∽△MFC，则有■=■，即ab=12.“很好！这位同学通过相似三角形的性质把分散的a、b进行有效的集中.那么，有没有直接把这两个分散的量聚集起来的方法呢？类比前面的图形，你有什么联想？”大部分学生说明白了，可以通过平移的方式.即以AB、BC为边，补全为一个矩形（图8），则有ME=AG=3，MH=CF=4，那么四边形DEMH的面积就是12，这就和上一题完全一样了，所以S四边形MGBF=12.

因此，课堂上的巧妙设计突出了概念形成的过程性，凸显了概念的本质属性。奇思妙想要有预设，动用逆向思维挖掘教材要有深度.既没有刻意强调该问题与原型之问的联系，也没有直接告知学生解题的思路，而是在不断的启发过程中让学生体会数学学习中一般有效的方法.先猜后证，尝试错误；分析目标，寻求思路；顺应思路，有效引导；生成方法，体验联系，这些都要求我们老师具有扎实的教学基本功与机智的课堂应变能力.

总之，在今后的教学工作中要观察课堂教学细节过程中的点点滴滴，并从中吸取经验教训，不断改进课堂教学，使教学合理化、智慧化、精致化、高效化.教师的理性引领犹如火把，能点燃学生头脑中智慧的火花，师生在合作、探讨中共同向思维的纵深处发展，用智慧打造科学、高效的课堂.

参考文献：

[1]王东.“点”在临界点，“拨”在关键处.中学数学教学参考.陕西师范大学总社.

[2]单国炎.用智慧打造高效的复习教学.初中数学教与学.中国人民大学书报资料.

（作者单位 福建省厦门后溪中学）