张振亮

（河南科技学院,河南新乡453000）

Engel展式逼近实数的效率

张振亮

（河南科技学院,河南新乡453000）

研究了Engel展式中有无穷多个收敛因子是最佳逼近的点组成的集合,证明了几乎没有实数使得它的Engel展式中有无穷多个收敛因子是最佳逼近.另外,还给出了该集合的Hausdorff维数是大于1/2的.

最佳逼近；Engel展式；Hausdorff维数

如何用有理数更好地逼近实数一直是数论中的热点.为此,引入了各种各样的展式,例如十进制展式、连分数展式以及Engel展式.在判断一种展式在逼近实数的效率时,通常是去判断该展式所确定的收敛因子是否是最佳逼近.在本文中,主要讨论Engel展式中收敛因子为最佳逼近的情况.

1 主要结论

一个有理数a/b（b＞0）称为实数x的一个最佳逼近,如果对任意的c/d≠a/b和0＜d≤b,都有|dx-c|＞|bx-a|成立.本文主要对Engel展式来讨论其收敛因子是否为最佳逼近.在讨论之前,先回顾一下Engel展式（详见文献[1]）.

对任意的x∈（0,1],Engel变换T：（0,1]→（0,1]定义如下

那么用如下方式定义整数列{dn（x）,n≥1}：dn（x）=d1（Tn-1（x））,n≥1.其中Tn表示T（T0=Id（0,1]）的第n次迭代.根据Engel变换可知,对于整数列{dn}n≥1,存在某个x∈（0,1]使得在其Engel展式中有dn（x）=dn当且仅当对任意的n≥1,都有dn≥2以及dn+1≥dn.成立.

由算法（1）可得,对任意的x∈（0,1],都可以展成如下无穷序列

这个展式称为x的Engel展式,并把它简记为x=[0；d1（x）,d2（x）,…dn（x）,…].

在上述背景下,把序列（2）中的前n项和记为x的Engel展式中第n个收敛因子Pn（x）/Qn（x）,即

所感兴趣的是Engel展式中有无穷多个收敛因子是最佳逼近的点组成的集合,一个自然的问题是这个集合的勒贝格测度有多大.若把这个集合记为F,即

F={x∈（0,1]∶Pn（x）/Qn（x）有无穷多个是x的最佳逼近}

证……