叶枝宏,石东伟

（1.普洱学院数学系,云南普洱665000；2.河南科技学院,河南新乡453003）

零点和极点位于有限条射线上的亚纯函数的增长性

叶枝宏1,石东伟2

（1.普洱学院数学系,云南普洱665000；2.河南科技学院,河南新乡453003）

研究了一类亚纯函数级的估计问题,得到了零点位于从原点出发的有限条射线,极点位于其他从原点出发的有限条射线上的亚纯函数级与下级,没有类似于此类整函数的级与下级的估计关系.

亚纯函数；零点和极点；级与下级

1 亚纯函数概述和主要结论

本文假设读者已经熟悉了Nevanlinna理论中的主要结果和相关记号,并统一用ρf（λf）表示函数f（z）的级（下级）,简记为ρ（λ）.此外,详细内容可参考文献[1-3].

对于零点和极点位于有限条射线上的亚纯函数,乔建永在文献[4]中证明了：

定理A如果亚纯函数f（z）的零点位于arg z=θj（j=1,2…,q）则

笔者近期在文献[5]中证明了：

定理B存在的亚纯函数f（z）,满足：

（1）零点和极点位于有限条（一条）射线上；

（2）级为+∞,下级为0；

（3）只有有限条Julia方向.

而定理B证明中所构造的亚纯函数函数的零点和极点位于同一条射线上.一个比较自然的问题是当零点和极点所在射线不同时,级与下级之间是否有一种具体的围界式子.对于只有2条射线的情况,在文献[6]中证明了：

定理C设亚纯函数f（z）的零点位于arg z=α,极点位于arg z=β（,α≠β）,那么它的级和下级满足ρ≤[λ]+2.

猜测一般情况可能具有ρ≤[λ]+m的估计（m为射线条数）,进一步否定了这个猜测.具体而言得到如下定理：

定理1对于任何s∈N,必存在α1, α2, α3,β1, β2, β3∈[-π,π)和一零点位于射线arg z=α（jj=1,2,3）,极点位于射线arg z=β（jj=1,2,3）上的亚纯函数（fz）满足ρf-λf＞s.