周 静，杨继明，尹家兵

（1.湖南工程学院 科技处，湘潭 411104；2.湖南工程学院 理学院，湘潭 411104）

0 引 言

随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为一种重要的竞争工具.不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放都是千差万别的.但广告并非越多越好，选择适当的广告策略可以使商品的销售量达到正向增加的趋势，使商品的利润达到最大.因此研究广告投入效应是十分必要的.

如何通过分析广告投入对销售的影响，建立广告投入策略的数学模型并研究分析，然后利用模型结果帮助企业获得更大利润.这是一个值得深入研究的重要课题.

1 模型假设

假定商品的销售和广告投入费用之间有下列关系：

在一定范围内，广告投入可以增加销售量，商品的销售量随着广告费用增加而增加，它与广告费用成正比.但广告投入只会影响该商品在市场上未达到饱和的部分.一旦商品在市场上达到饱和状态后，无论如何投入广告，销售都将减缓.销售速度会随着时间增长而自然衰减，销售量的下降速度与该商品的销售量成正比［1，2］.

2 模型的建立与求解

设s（t）为t时刻的销售量，A（t）为t时刻投入的广告费用，M为销售的饱和水平（市场对商品的最大容纳能力），λ为衰减因子（广告的作用随时间增长而自然衰减），k为A（t）对s（t）的影响能力参数.

在实际问题中，我们并不清楚M、λ、k的值，是一种不确定环境.

根据上述假设，建立数学模型.

在没有广告投入情况下，销售量的模型为

在广告投入之后，销售量的模型为

如果广告投入只进行有限时间τ，则销售量的模型为

我们只对模型（1）进行研究.模型（2）的研究类似于模型（1）.

选择广告投入策略：

其中a为常数，表示在时间（0，τ）内的广告费用，见图1.

对方程（1）两边关于t求导，得到

这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为

若s｜t＝0＝s0，则C1＋C2＝s0.

于是，s（t）＝其函数图形如图2所示.

3 微分方程的奇点分析

将（4）式改写为方程组形式

显然，y＝0，s＝0是奇点.

通过直接计算，可得特征方程的根为λ1＝1，λ2是一对异号实根.从而可知奇点是鞍点（不稳定）.在奇点邻域内，方程的轨线图貌如鞍形.

4 模型的检验

表1 某日化公司牙膏销售量和广告费用的数据［3］

以某日公司牙膏销售量和广告费用的数据为例进行研究.牙膏销售量和广告费用的关系见图3.利用这些数据，可以进行参数估计和模型的检验.对（1）式进行离散，得到

上式是关于参数M，k，λ的方程，根据表1的数据，利用最小二乘法，求得

该产品的广告模型为

图3给出了用最小二乘拟合得到的牙膏销售量的近似值.

由数据检验模型的精度，用上式对第8个销售周期的牙膏销售量做了预测，计算结果为7.72百万支，而实际销售量为7.87百万支，可得相对误差为2%.这说明模型与实际销售情况基本吻合，模型是可行的.

图3 牙膏销售量和广告费用的关系

5 结语

对不确定环境下影响销售的广告投入数学模型的研究，可以为短时期内广告投入对销售的影响提供依据.

［1］孙淑兰，王玉花.一个广告投入对销售影响的数学模型［J］.佳木斯大学学报，2004，22（3）：420－422.

［2］王建征，彭云飞.时滞型Vidale－Wolfe广告模型［J］.贵州科学，2008，26（1）：15－18.

［3］姜启源，等.数学模型（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.