张 雷 （无锡工艺职业技术学院基础部，江苏 宜兴214206）

具有阶段结构种群动力学模型始终是人们研究的热点问题之一［1－3］，而自食对种群的结构和动力学行为有着重要的影响［4－5］。为此，笔者讨论如下具有阶段结构自食捕食系统：

其中，x（t）表示食饵种群密度；y1（t），y2（t）分别表示t时刻幼年、成年捕食者的种群密度；a1（t）表示食饵种群的内禀增长率；a2（t），a3（t）分别表示幼年和成年捕食者的死亡率；bi（t）（i＝1，2，3）分别表示种群密度制约因素；β1（t）表示成年捕食者的生育率；β2（t）表示捕食者幼年到成年的转化率。

1 系统持久性分析

引理1 R3＋为系统 （1）的正不变集。

定理1 若不等式：

证明 设z（t）＝ （x（t），y1（t），y2（t））为系统 （1）的任意正解，由系统 （1）的第1个方程得：

定义U（t）＝ max｛y1（t），y2（t）｝，沿着系统 （1）的正解计算U（t）的右上导数有：

（1）如果y1（t）≥y2（t），则有：

（2）如果y1（t）＜y2（t），则有：

由系统 （1）的第1个方程得：

定义W（t）＝ min｛y1（t），y2（t）｝，沿着系统 （1）的正解计算W（t）的右下导数有：

（1）如果y1（t）≤y2（t），则当t＞T5时：

（2）如果y1（t）＞y2（t），则当t＞T5时：

故当t＞T8时有由此可知系统 （1）是一致持久的。

2 系统稳定性分析

定义下列函数：

定理2 如果定理1的条件成立，且下列条件满足：

则系统 （1）是全局稳定的。

沿着系统 （1）的正解计算V（t）的右上导数，得：

两边同时在区间［T，t］上积分得：

［1］Bence R J，Nisbet R M．Space－limited recruitment in open systems：the importance of time delays ［J］．Ecology，1989，70：1434－1441．

［2］张树文，谭德君，刘兵 ．捕食者与食饵均具有阶段结构捕食系统的研究 ［J］．生物数学学报，2001，16（2）：162－168．

［3］江志超，曹建涛，程广涛，等 ．具有阶段结构的多时滞SIR模型的稳定性分析 ［J］．数学年刊，2011，32A （1）：97－106．

［4］肖燕妮，陈兰荪 ．具有阶段结构的竞争系统中的自食的稳定性作用 ［J］．数学物理学报，2002，22（2）：210－216．

［5］戴勇，邢铁军，雒志学，等 ．具有3个年龄阶段的自食单种群时滞模型的周期解 ［J］．数学的实……