孙小慧，吴 涛，1b，孙 恒，白礼虎

(1.安徽大学a.数学科学学院;b.计算智能与信号处理教育部重点实验室，安徽合肥230039;2.北京林业大学水土保持学院，北京100083)

0 引言

自从Zadeh在1965年创立模糊集理论以来［1］，模糊集理论及其应用方法得到不断的完善和发展。Atanassov同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度三方面的信息，于1986年提出了直觉模糊集的概念［2］，与Zadeh的模糊集相比，直觉模糊集在处理模糊性和不确定性等方面更具灵活性和实用性。1989年文献［3］对直觉模糊集进行了拓展，提出区间直觉模糊集。

近年来，一些学者对区间直觉模糊集的理论进行了研究，文献［4］给出区间直觉模糊集的一些基本运算和它们的基本性质;文献［5］定义了区间直觉模糊集的关联度，并给出区间直觉模糊集关联性的两个分解定理。更多的学者研究区间直觉模糊集理论在多属性决策中的应用:文献［6］定义了区间直觉模糊集的得分函数和精确函数，基于这两种函数给出了区间直觉模糊集的一种排序方法;文献［7］对文献［6］的方法进行了改进，提出新的精确函数，并将其应用于决策问题;文献［8］考虑到区间直觉模糊集的犹豫度对决策方案的影响，分析了文献［6－7］所定义精确函数的缺陷，对其进行改进，提出了一种新的精确函数，并应用于多属性决策问题。随后，文献［9］提出了一种新的得分函数并给出相应的性质。

虽然这些方法在决策问题中得到了一定程度的应用，但目前所有的得分函数和精确函数都有自己的不足之处，对一些问题无法做出决策。本文通过分析区间直觉模糊集的隶属度、非隶属度对犹豫度的影响和这三方面对决策方案的影响，对已有的精确函数和得分函数进行修正和改进，定义了一种基于区间直觉模糊集的得分函数，并将其应用于多属性决策问题。

1 预备知识

设X是一个非空集合，则称A={〈x，μA(x)，vA(x)x∈X}为直觉模糊集，其中，μA(x)∈［0，1］和γA(x)∈［0，1］分别为集合X中元素x属于A的隶属度和非隶属度，且满足0≤μA(x)+γA(x)≤1，∀x∈X。

若μA(x)，γA(x)是区间数，即

x属于A的犹豫度为:

其中，ωi∈［0，1］为Ai(i=1，2，…，n)的权重;ωi=1。

特别地，若ω1=ω2=ω3=…=ωn=，则称f为区间直觉模糊数的算数平均算子。

其中，ωi∈［0，1］为Ai(i=1，2，…，n)的权重;ωi=1。

得分函数和精确函数都为一种评价准则，但考虑的方向不一样，得分函数类似于统计学中的均值，而精确函数类似于统计学中的方差。相同的是，在决策问题中若某一方案的得分函数值或精确函数值越大，对应的决策方案越优。以下是几种已有的得分函数和精确函数。

定义3［6］设A=(［a，b］，［c，d］)为一个区间直觉模糊数，则称△(A)=为A的得分函数，其中，△(A)∈［－1，1］。

定义4［6］设A=(［a，b］，［c，d］)为一个区间直觉模糊数，则称H(A)=为A的精确函数，其中，H(A)∈［0，1］。

定义5［7］设A=(［a，b］，［c，d］)为一个区间直觉模糊数，则称

为A的精确函数，其中，M(A)∈［0，1］。

定义6［8］设A=(［a，b］，［c，d］)为一个区间直觉模糊数，则称

为A的精确函数，其中，S(A)∈［0，1］。

定义7［9］设A=(［a，b］，［c，d］)为一个区间直觉模糊数，则称

为A的精确函数，其中，L(A)∈［－1，1］。

2 得分函数的改进

若两个决策方案分别为A1=(［0.2，0.5］，［0.1，0.4］)，A2=(［0.3，0.4］，［0.2，0.3］)，则

由定义3所给的得分函数和定义4、定义5所给的精确函数，所得到的两种方案的结果都是相等的，即两种方案未得到排序。

若两个决策方案分别为A3=(［0，0.2］，［0.1，0.2］)，A4=(［0.1，0.2］，［0.3，0.6］)，则S(A1)=S(A2)=0.25。

定义6所给的精确函数对于此决策方案也得不到有效的排序。

若两个决策方案分别为A5=(［0.3，0.4］，［0，0.1］)，A6=(［0.2，0.6］，［0，0.4］)，则L(A1)=L(A2)=0.32。

定义7所给的精确函数对于此决策方案也无法做出判断。

为解决以往得分函数和精确函数的缺陷和不足，考虑到区间直觉模糊集中隶属度和非隶属度对犹豫度的影响，定义了一种新的得分函数。

定义8 设A=(［a，b］，［c，d］)为一个区间直觉模糊数，则称

为A的得分函数，其中C(A)∈［－1，1］。

性质1 设A=(［a，b］，［c，d］)为一个区间直觉模糊数，

(Ⅰ)若A=(［1，1］，［0，0］)，则C(A)=1。

(Ⅱ)若a+b=c+d或a=c，则C(A)=0。

(Ⅲ)若A=(［0，0］，［1，1］)，则C(A)=－1。

若一个区间直觉模糊数A=(［a，b］，［c，d］)对应于上述性质中的情形(Ⅱ)，可以通过文献［6］中定义的精确函数进行排序。

对于方案

A1=(［0.2，0.5］，［0.1，0.4］)与A2=(［0.3，0.4］，［0.2，0.3］)，

A3=(［0，0.2］，［0.1，0.2］)与A4=(［0.1，0.2］，［0.3，0.6］)，

A5=(［0.3，0.4］，［0，0.1］)与A6=(［0.2，0.6］，［0，0.4］)，

运用定义8所给出的得分函数计算可得C(A1)=0.05，C(A2)=0.08，可得C(A2)＞C(A1)，所以方案2优于方案1;C(A3)=－0.02，C(A4)=－0.20，可得C(A3)＞C(A4)，所以方案3优于方案4;C(A5)= 0.225 0，C(A6)=0.062 5，可得C(A5)＞C(A6)，所以方案5优于方案6。

3 基于区间直觉模糊集的多属性决策

首先给出基于区间直觉模糊集多属性决策的算法步骤:

步骤1，运用式(1)或式(2)对各个方案的属性进行集成;

步骤2，通过式(3)对集成后的各个方案进行得分计算;

步骤3，对得分进行排序，得分最高者为最优方案。

为说明本文所定义的得分函数是有效的，采用文献［8］中的实例进行分析，具体实例如下:设某一决策问题有4个候选方案Ai，i=1，2，3，4和3个评价指标Ej，j=1，2，3，各个指标的权重分别为0.35，0.25，0.40。各候选方案在各指标下的特性用区间直觉模糊数表示如下，试选取最优方案。

运用加权算术平均算子(1)对各个方案的各个属性进行集成，从而得到各个方案的综合区间直觉模糊值αi(i=1，2，3，4)为:

通过定义8所定义的得分函数，计算各个方案的得分为:

可得C(α3)＞C(α4)＞C(α1)＞C(α2)，所以方案排序为A3＞A4＞A1＞A2，即第4个方案为最优方案。排序结果与文献［8］的排序结果是完全一致的，说明本文所给得分函数是可行的。

4 结束语

本文首先分析了现有的5种基于区间直觉模糊集得分函数和精确函数的缺点与不足，充分考虑到区间直觉模糊集的特点，定义了一种新的得分函数，并给出了基于此得分函数的区间直觉模糊集的多属性决策算法，最后给出了实例分析，实例证明本文所定义的得分函数是有效的。

［1］ Zadeh L A.Fuzzy Sets［J］.Information and Control，1965，8(3):338－353.

［2］ Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1):87－96.

［3］ Atanassov K，Gargov G.Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，31(3):343－349.

［4］ Atanassov K.Operators Over Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1994，64(2):159－174.

［5］ Bustibce H，Burillo P.Correlation of Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Information Sciences，2002，144(1/4): 219－225.

［6］ 徐泽水.区间直觉模糊集信息的集成方法及其在决策中的应用［J］.控制与决策，2007，22(2):215－219.

［7］ Jun Y.Multicriteria Fuzzy Decision-making Method Based on a Novel Accuracy Function Under Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Environment［J］.Expert Systems with Applications，2009，36(3):6899－6902.

［8］ 要瑞璞，沈惠璋.区间直觉模糊集多属性决策方法［J］.数学的实践与认识，2011，41(18):135－138.

［9］ Lakshmana G N V，Muralikrishnan S，Sivaraman G.Multi-criteria Decision-making Method Based on Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Expert Systems with Applications，2011，38(3):1464－1467.