夏春燕，樊树海

(南京工业大学工业工程系，江苏南京210009)

运用顺序矩阵对车间作业进行分析，从而有助于车间布置。在现实的生产线生产中，工序的先后顺序存在着不确定性，各工序间的物料流向也存在不确定性。因此要在保证生产顺利进行的前提下，评估生产线的不确定性，从而提高了作业员及设备工装的工作效率，降低成本。

1 模糊顺序矩阵

顺序矩阵是以矩阵的形式来表示作业之间的先后顺序的约束关系。在图1所示的作业先后顺序图中，作业1是作业2、3的直接先行作业，是作业4、5、6、7和8的间接先行作业;作业5是作业7的直接先行作业。

常规的顺序矩阵［1-2］由0和1组成，行和列的标号都表示作业号。如果作业i是作业j的直接先行作业，则在矩阵里 (i，j)处填1，否则填0。例如图1的作业顺序图，可以用矩阵A1(图2(a))来表示。另一种顺序矩阵中，只要作业i是作业j的先行作业，就在矩阵里 (i，j)处填1，用该种方法产生的顺序矩阵［3-6］，如矩阵A2(图2(b))。

图1 作业先后顺序图

图2 顺序矩阵的两种形式

以上两种形式的顺序矩阵都是上三角矩阵，表示生产是按顺序进行的。但实际生产过程中并不是所有的工序都存在严格的先后约束关系。例如，图1中工序1表示下料，工序2表示卷圆，工序3表示钻孔，工序5表示焊接。工序1(下料)必须在工序2(卷圆)之前，这样的约束关系不能改变;工序3(钻孔)和工序5(焊接)工艺上并不要求存在先后约束关系，先焊接再钻孔或者先钻孔再焊接都不会影响产品的质量。而工序3和工序5的加工时间不是一样的，有时可能会为了生产线的均匀化，可能会先进行工序5再进行工序3，同时还会影响到其他工序间的物流，因此增加新物流路线1→5→3→7。新的多物流路线作业顺序图就可以用图3表示。图3相对应的顺序矩阵就不是只含有0和1，可能存在小数，此时就需要引入模糊顺序矩阵来表示这样的多物流路线作业顺序图。

图3 多物流路线作业顺序图

模糊顺序矩阵是以矩阵的形式表示作业工序之间所发生的物流关系，其中每一个单元格的值表示工序之间发生物流关系的概率。例如，图3中1→5的概率为0.3，则对应的模糊顺序矩阵为:

矩阵中每行的和都是整数，而且等于原作业顺序图中直接后继的工序的个数，如矩阵A中第一行的和为2，图3中工序1的直接后继工序的个数为2，两者相等。

2 基于信息熵的生产线不确定性评价

信息熵是Shannon在1948年基于熵的概念引入信息论中的［6］，解决了信息量化的问题。它表示一个概率分布的不确定性。在一定的约束条件下，选择具有最大不确定性的分布。在物理系统中，熵是表征系统运动混乱程度或系统状态数量丰富程度的物理量，而在信息论中熵又能描述系统的不确定性和复杂程度。把制造系统视为复杂开放系统，按照信息论对熵的定义，设离散型随机变量X，具有n种可能的取值(x1，x2，x3，…，xn)，且各值的概率分别为 (p1，p2，p3，…，pn)，则X的熵定义为［7-9］:

当n=2时，则有

其中:0≤p1≤1，当p1=0或1时，E(x)=0。

在分析生产线过程中，可以将生产线看作一个系统。系统的不确定程度影响着工作效率以及现场布局，所以需要对这种不确定程度进行评价分析。运用信息熵的理论来分析生产线的不确定性，具体步骤如下:

步骤1，写出多物流路线作业顺序图。

步骤2，写出模糊顺序矩阵。按照第1节的方法写出模糊顺序矩阵，用模糊顺序矩阵表示系统状态。

步骤3，模糊矩阵信息熵处理。首先对模糊顺序矩阵的每个元素进行熵处理:

其中:1≤i，j≤n;0≤aij≤1，当 aij=0或1时，Eij=0。

当Aij=0或1时，Eij=0，表示状态确定;而当0＜Aij＜1时，Eij＞0，表示状态存在不确定性。得到所有的Eij，也就形成了信息熵矩阵E。信息熵矩阵的非零元素表示生产线上对应的工序间的物流存在不确定性。

步骤4，计算不确定性指数。设信息熵矩阵中行和列的个数均为n。不确定性指数的计算公式为:

通过取平均值得到的不确定性指数，是整个生产线的不确定性，而不是某两个工序之间物流的不确定性。而且e的值越大说明该生产线的不确定程度最大，生产系统越混乱。

3 不确定性指数在现实生产中应用

某公司生产线生产一种产品，根据工序先后约束条件，绘制生产线各工序的作业先后顺序图，如图1所示。各道工序由带数字结点代替。

(1)写出多物流路线作业顺序图

由于工序3和工序5，工序2和工序4，工艺上并不要求存在先后约束关系，产生了新的物流路线: 1→5→3→7，1→4→2→6，1→4→2→7，得到多物流路线作业顺序图如图4所示。

图4 多物流路线作业顺序图

(2)写出模糊顺序矩阵

根据现场的统计得工序1到工序2，工序3，工序4和工序5之间发生物流关系的概率分别为0.8，0.7，0.2，0.3;2工序到工序4和工序6之间发生物流关系的概率分别为0.8，0.2;工序3到工序5和工序7之间发生物流关系的概率分别为0.7，0.3;工序4到工序2和工序6之间发生物流关系的概率分别为0.2，0.8;工序5到工序3和工序7之间发生物流关系的概率分别为0.3，0.7，工序6和工序7到工序8之间发生物流关系是确定的，用1表示。根据上述物流关系的概率写出模糊顺序矩阵:

(3)模糊矩阵信息熵处理

利用Eij=-(aijlogaij+(1-aij)log(1-aij))对模糊顺序矩阵A的每个元素进行信息熵处理:

如E12=-(0.8×log0.8+0.2×log0.2)=0.22，依此类推，计算得信息熵矩阵E。

(4)计算不确定性指数

不确定性指数e为:

4 自动化实现

对模糊顺序矩阵信息熵的处理可借助计算机通过公式方式自动计算实现，如使用函数fx=-［C2* Log(C2)-(1-C2)*Log(1-C2)］计算，如图5所示。

图5 信息熵处理自动化实现

5 结论

顺序矩阵以矩阵的形式来表示作业之间的先后顺序的约束关系。然而在现实的生产过程中某些工序间的先后关系并不是确定的，调整顺序并不会影响产品生产或质量。文中在现有的顺序矩阵理论的基础上加以改进，定义了模糊顺序矩阵来表示生产线工序间存在的物流关系，其中每一个单元格的值表示工序之间发生物流关系的概率。运用信息熵的理论对工序间的物流不确定程度进行评价，提出了评价生产线不确定性的一般步骤，从而得出生产系统的不确定性指数。该评价方法有利于提高作业员及设备工装的工作效率，降低生产成本。

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