李佩玲，刘家保

（安徽新华学院 公共课教学部，安徽 合肥 230088）

1.引言

自考线性代数作为一门自学考试课程，旨在通过学生自学完成。但是由于线性代数是一门理科课程，专职老师对重点难点内容的指导往往能极大的提高学生的学习效率和自考成绩。本文以线性代数（经管类）课程为例，着重说明自考知识点的内在联系以及考前冲刺的突破口。

2.考前冲刺突破口

（1）充分把握线性代数前后内容相关相联系的部分。比如第五章特征值与特征向量的内容，对已知方阵特征值的求解要借助第一章行列式的计算，而对特征向量的求解要利用第四章线性方程组中怎样解齐次线性方程组的方法。

解： A的特征方程为

λ1=0,λ2=5为A的两个特征值。

对λ1=0，求解齐次线性方程组(0 E-A) X = 0 ，其增广矩阵为得到方程组的一个基础解系为则 1α为A的属于的一个特征向量.

对λ2=5，同理可求解齐次线性方程组 (5 E-A) X=0的一个基础解系为则为A的属于的一个特征向量.

第三章中对向量组线性相关，线性无关，线性表出问题的讨论，实际上可以利用解线性方程组的方法来解决。例如：

例2 问 β=(-1， 1， 5 )T能否表示成α1=(1， 2， 3 )T，α2= (0， 1， 4 )T，α3= (2， 3， 6 )T的线性组合？

解：设线性方程组为 x1α1+x2α2+x3α3=β，

对方程组的增广矩阵作初等行变换：

则方程组有唯一解 x1=1,x2=2, x3=-1.

所以β可以唯一地表示成 α1,α2,α3的线性组合，且β=α1+2α2-α3.

例3 设向量组α1=(2,-1 ,7)T,α2=(1,4,11)T, α3= (3,- 6,3)T，试讨论其线性相关性.

解：考虑方程组 x1α1+x2α2+x3α3=0

其系数矩阵

于是，秩 (A)= 2 ＜ 3，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为

令x3=1，得一个非零解为 x1=-2,x2=1, x3=1则-2α1+α2+α3=0

在这两道例题中对向量之间线性关系的讨论全部归结为对线性表出系数的求解过程，即讨论方程组解的问题。

同时，某些不同的题目实际上考察的是同一个知识点。比如求解实对称矩阵的正交相似标准形问题和用正交变换化二次型为标准形是同一个问题。例如2011年7月自学考试线性代数（经管类）试题：

求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.实际上和问题：求出的正交相似标准形是同一个问题。

（2）重视一些基本方法在解决问题中反复使用。比如行列式的计算问题，在利用克拉姆法则求解线性方程组，利用伴随矩阵求逆矩阵，求解方阵特征值的问题中都要用到。线性代数中，矩阵是一个工具，解决向量组中向量的线性关系，或者利用增广矩阵解线性方程组都要用到矩阵。而矩阵的初等行变换，在求矩阵的秩，求方阵的逆矩阵，确定向量之间的线性关系（比如找出向量组的极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出），利用增广矩阵求解线性方程组的问题中都要用到。例如：

例4 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：

解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个4×5矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵：

易见 B的秩为 4，A 的秩为 4，从而秩｛α1,α2,α3,α4,α5｝=4，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地 α1,α2,α3,α5为向量组的一个极大无关组，而且 α4=-α2- α3.

（3）把复杂的问题归结为简单的问题来解决。比如行列式计算的一般方法，利用行列式的性质打零后按照某一行或某一列展开降阶为低一阶行列式进行计算，或者将行列式打零化为上三角行列式或者下三角行列式进行计算。

解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是 a12= 1，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开：

填空题选择题一般只有一个确定答案还可以考虑最简单的情形。例如2012年7月份自考考题：

3.结论

由于线性代数课程前后内容相辅相承，融会贯通，如果在教学中能充分注意到这一点，对学生加以引导，并辅以适当例题，对提高学生学习效率，帮助学生深刻理解学科理论知识和提高自考成绩都有很大的帮助。

[1]刘吉佑，徐诚浩.线性代数[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

[2]袁泉.线性代数教学研究[J].当代教育理论与实践，2012，（9）.

[3]赵树嫄.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

[4]刘家保，钱金龙，陈中华，夏大红.初等行变换在线性代数中的若干应用[J].湖北广播电视大学学报，（12）.