杨必成



关于两类半离散含对数非齐次核逆向的Hilbert型不等式

杨必成

(广东第二师范学院数学系，广东，广州 510303)

应用权系数的方法、复分析技巧及参量化思想,建立两类具有最佳常数因子的、半离散含对数非齐次核逆向的Hilbert型不等式及其等价式。

权系数；参数；Hilbert型不等式；等价式；逆式

0 引言

这里，常数因子4仍为最佳值。式(2)称Hilbert型积分不等式。以上两个-1齐次核不等式与Hilbert不等式一样，是分析学的重要不等式[1-2]，它们有不少推广应用[3-6]。近年，有关半离散Hilbert型不等式的研究渐趋热潮。关于半离散、齐次核Hilbert型不等式，可参阅文[7-11]；关于半离散、非齐次核的Hilbert型不等式，其结果及方法可参阅文[1](定理351)及文[12-15]；关于半离散逆向的Hilbert型不等式，则可参阅文[16-18]。其方法特点是综合应用了离散与积分两类不等式的思想技巧。最近文[19]建立了半离散含对数齐次核逆向的Hilbert型不等式。

1 引理

(N为正整数集)。则有如下不等式:

这里，

即有式(6)。证毕。

(8)

2 主要结果

则有如下等价不等式：

(12)

再由式(12)，有式(11)。反之，设式(11)成立。取

则由式(11)，有

故式(12)成立，且它与式(11)等价。

代入式(13)，式(11)成立。反之，设式(11)成立。取

故式(13)成立，且它与式(11)等价。故式(11)，式(12)与式(13)齐等价。

另一方面，有

式(12)、(式(13))的常数因子必为最佳值。不然，由式(14)、(式(16))，必将导出式(11)的常数因子也不为最佳值的矛盾。证毕。

证明 类似于定理1的方法，可证明式(20)，式(21)与式(22)成立且等价。下面只证式(20)的常数因子为最佳值。则由此结论及等价性，易证式(21)，式(22)的常数因子亦为最佳值。

(24)

再由L控制收敛定理，有

结合式(23)与式……