李文婷

(西北大学 数学系， 陕西 西安 710127)

0 引言

在现实生活中，由于不确定性因素的存在，往往不能成功地使用经典的数学方法来处理社会、经济、工程等领域中的复杂问题.为了解决这一难题，模糊集理论和粗糙集理论相继被提出.1965年，Zadeh[1]提出了模糊集理论，它是利用隶属函数反映元素对集合从属关系的不确定性，体现了程度化的思想.1982年，Pawlak[2]提出了粗糙集理论，它是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具.软集是Molodtsov[3]在1999年为解决模糊集、粗糙集等数学处理工具参数化处理不足的问题而提出的，其强调从参数化的角度研究不确定性和复杂性.

本文在文献[11]和[13]的基础上,将软集理论应用到群的模糊同余关系和模糊正规子群上，从而引入了软群的模糊软同余和正规模糊软子群的概念.然后讨论了软群的模糊软同余在模糊软运算和同态下像的相关性质，并给出了软群的正规模糊软子群的相关性质，最后研究了软群的模糊软同余与正规模糊软子群之间的关系.

1 预备知识

以下，设U为初始论域，E为参数集，P(U)是U的幂集，IU是U的模糊幂集，A,B⊂E.

定义1[3]若f:A→P(U)为A到P(U)的一个映射，则称(f,A)为U上的一个软集，记为fA.

定义2[11]若F:A→IU为A到IU的一个映射，则称(F,A)为U上的模糊软集，记为FA.

对于模糊软集FA,若FA的支持集SuppFA={α∈A|F(α)≠∅}≠∅,则称FA为非空模糊软集.以下设SuppFA≠∅.

其中C=A∪B.

定义5[15]设μ是U上的模糊关系，若μ满足下列条件：

(1)μ(x,x)=sup{μ(y,z)|y,z∈U}

(2)μ(x,y)=μ(y,x)，∀x，y∈U

(3)μ(x,z)≥sup{μ(x,y)∧μ(y,z)|y∈U}，

则称μ为U上的模糊等价关系.

接下来，(G,*)始终表示一个群，e是G的单位元.

定义6[13]设μ是G上的模糊等价关系,若

μ(x*z,y*t)≥μ(x,y)∧μ(z,t)，∀x,y,z,t∈G,则μ是G的模糊同余.

定义7[8]设fA是G的软集，若∀α∈A，f(α)是G的子群，则称fA为G上的软群.

定义8[8]设FA是G上的模糊软集，若∀α∈A，F(α)是G的模糊子群，则称FA为G上的模糊软群.

定理1[16]设μ是G的模糊同余，定义G中的模糊子集ν=μe,使∀x∈G,ν(x)=μ(e,x)，则ν是G的模糊正规子群；反之，若ν是G的模糊正规子群，定义G中的模糊关系μ，使得∀x,y∈G，μ(x,y)=ν(x*y-1)，则μ是G的模糊同余.

2 软群的模糊软同余

如无特别说明，fE始终表示为G上的软群，E为参数集，A,B⊂E.

定义9 设ρA是G×G上的模糊软集，若∀α∈SuppρA，ρ(α)是f(α)的模糊同余，则称ρA为fE的模糊软同余.

定理2 设ρA和σB是fE的模糊软同余，则

设fA是G上的软集，g:G→G′是群的映射，定义G′上的软集g(f)A为：对∀α∈A，g(f)(α)=g(f(α)).同样地，设FA为G上的模糊软集，定义G′上的模糊软集g(F)A为：对∀α∈A，g(F)(α)=g(F(α)).

引理1 设g:G→G′是群的同态满射，fE为G上的软群，则g(f)E为G′上的软群.

定理3 设g:G→G′是群满同态，ρA是fE的模糊软同余，定义∀α∈A，∀x，y∈f(α),g(ρ)(α)(g(x),g(y))=ρ(α)(x,y)，则g(ρ)A是g(f)E的模糊软同余.

证明：由定义9知，ρA是非空模糊软集，即∀α∈A，ρ(α)≠∅，则g(ρ)(α)=g(ρ(α))=∅,

故g(ρ)A是非空模糊软集.由于ρ(α)是f(α)的模糊同余，g是满同态，则对任意的x′,y′∈g(f)(α),存在x,y∈f(α),使得x′=g(x),y′=g(y),且g(ρ)(α)(x′,y′)=g(ρ)(α)(f(x),f(y)).

由已知得g(ρ)(α)(x′,y′)=ρ(α)(x,y)，故g(ρ)(α)是g(f)(α)的模糊同余.因此，g(ρ)A是g(f)E的模糊软同余.

3 软群的正规模糊软子群

定义10 设FA是G上的非空模糊软集，若∀α∈SuppFA,F(α)是f(α)的模糊正规子群，则称FA是fE的正规模糊软子群.

定理4 设{(Fi,Ai)|i∈I}是fE的正规模糊软子群族，则

利用定义3、4、11和定理2，易证(1)和(2)成立.

引理2[16]设g:G→G′是群的同态满射，H为G的模糊正规子群，则g(H)为G′的模糊正规子群.

定理5 设g:G→G′是群的同态满射，FA是fE的正规模糊软子群，则g(F)A是g(f)E的正规模糊软子群.

证明：由定义10知，FA是非空模糊软集，即∀α∈A，F(α)≠∅，则g(F)(α)=g(F(α))≠∅，故g(F)A是非空模糊软集.

由于F(α)是f(α)的模糊正规子群，g是满同态，则由引理2知g(F)(α)=g(F(α))为g(f)(α)的模糊正规子群，则g(F)A是g(f)E的正规模糊软子群.

反之，若FA是fE的正规模糊软子群，由定义10知，∀α∈SuppFA,F(α)是f(α)的模糊正规子群，根据假设∀x,y∈f(α)，则有ρ(α)(x,y)=F(α)(x*y-1)≠∅，且由定理1得，ρ(α)是f(α)的模糊同余.因此，根据定义9得知ρA是fE的模糊软同余.

记FSC(f)E为fE的所有模糊软同余的集合，NFS(f)E为fE的所有正规模糊软子群的集合，建立以下两映射：

(1)φ:FSC(f)E→NFS(f)E

(2)ψ:NFS(f)E→FSC(f)E，

φ(FA)=ρA，

其中，FA是fE的正规模糊软子群，且

∀α∈A，∀x,y∈f(α)，

ρ(α)(x,y)=F(α)(x*y-1).

根据定理6，我们有以下推论.

推论1 以上两映射φ与ψ互为逆映射，即FSC(f)E与NFS(f)E之间存在一一对应.

4 结束语

本文通过将模糊同余和模糊正规子群一般化，使之推广到软群上的模糊软同余和正规模糊软子群，然后讨论了软群的模糊软同余和正规模糊软子群的一系列性质，获得一些重要的结论.

目前，已经有许多学者对软代数系统进行了模糊化、粗糙化，本文为软代数系统模糊理论的建立奠定了一定的基础.

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