竺 炜，蒋 頔，马建伟，曾喆昭

（1.长沙理工大学 电气与信息工程学院，湖南 长沙 410004；2.中国电力科学研究院，北京 100192；3.贵阳供电局，贵州 贵阳 550001）

实测功率振荡曲线复杂，往往出现瞬变和不规则波动的情况，故目前出现了采用时频分析的热潮.文献［1］提出采用并行时频原子复带通滤波方法进行识别，但运算效率有待提高，不易实现在线识别.文献［2-4］采用小波和HHT（Hibert-Huang transform）算法进行了研究.小波算法虽然可以反映信号的时变特性，在时域和频域都有良好的分辨能力，但存在小波基难以选取的问题［5］；HHT算法可处理非平稳信号，但其EMD过程可靠性较差，难以避免虚假成分，使本征模态函数分量物理意义不明确［6］.

主导模式分析的背景是低频振荡机制，主要分析的是机电耦合模式的低频振荡特性.电力系统动态过程是复杂的，不都是机电耦合模式振荡，文献［2-3，7-8］基于非自治非线性电力系统在扰动下的失稳过程分析，认为低频振荡是非平稳振荡且特征根时变.但往往低频振荡发生在无明显故障或扰动情况下，且由于转子惯性，认为瞬间突变不是低频振荡的主导模式.虽然强迫振荡在扰动变化时，会有瞬态响应过程，但稳态振荡模式仍然是受关注的主导模式.从低频振荡抑制角度看，对瞬间变化也是无法做到时变抑制控制的.所以，在秒级时间窗内，针对机电模式的低频振荡用固定特征根描述是可行的.即使是非平稳振荡，可采用滑动的时间窗口来求取特征根的时间序列，或采用时间断面特征根算法获取时变的振荡频率和阻尼［9］.

频域分析中，基于傅里叶变换的谱分析具有广泛工程应用，但主要问题是无法识别阻尼特性.Prony算法基于指数函数的多阶线性组合，因模型中包含衰减因子，故逐渐成为低频振荡模式分析的主流方法［10-12］.但该算法对噪声非常敏感［13-14］，且当振荡模式为多阶且采样率增大时，识别幅值和相位的计算量呈指数增加，矩阵求逆困难［15］，降阶模型的研究成为难题［16-17］.此外，即使是稳态振荡模式，也往往共存着多个不同模式，且不同模式的起振和平息时间各不同［18-21］，这2种方法因不带时变因子，都存在模式变化时刻识别的困难［22］.

低频振荡主导模式识别需要功能合适的分析方法，尤其在线模式识别时，要求分析方法抗干扰性好、运算可靠并且满足实时性要求.在线模式识别时，实测数据就像“队列”经过“窗口”，若对窗口数据进行谱分析并“记忆”，经过相应分量的幅值变化分析，就能识别衰减特性（即阻尼特性）且能判别模式变化的时刻.鉴于此，尝试采用滑窗谱分析的办法，并采用基于最小二乘法训练的傅里叶基神经网络，提高运算可靠性和抗干扰性.

1 滑窗频谱分析的思路

1.1 低频振荡的各参数识别

设低频振荡的某一模式为

式（1）可看成用频率为ωm的载波信号对阻尼信号e-σt进行调制.图1所示即为一个数据窗中阻尼信号的频谱.图2，3所示分别为低频振荡信号x（t）在数据窗i，j中的频谱，阻尼信号经调制移频后，在载波信号频率ωm处的分量幅值最大.因此，可由一个窗的数据频谱确定该振荡模式的频率ωm.

设长度为T的矩形窗为g（t），即

则数据窗内的低频振荡信号表示为

设加窗阻尼信号的傅里叶变换为

其幅度谱分布为

则窗内低频振荡信号的傅里叶变换可表示为

在只考虑正频率的情况下，式（6）表示为

图1 加窗调制信号的频谱Figure 1 Modulation spectrum of windowed signal

图2 i窗频谱Figure 2 i window spectrum

图3 j窗频谱Figure 3 j window spectrum

虽然频谱分析不能直接得到振荡的阻尼特性，但结合滑窗的办法可以解决.

设窗口i，j的起点分别为ti，tj，时域振荡幅值分别为Ai，Aj，傅里叶变换分别为

由时域特性可知

式中 tij为窗口i，j的时间间隔.故由式（7）、（8）可得阻尼：

即可由窗口间同一频率分量的幅值比和窗口时间间隔确定瞬时阻尼（图2，3）.

由式（7）可得的窗口内瞬时振荡幅值：

1.2 时变振荡模式的滑窗识别

在电力系统多模式低频振荡时，不同模式起振和平息时间不同，还可能出现多模式叠加和接近重叠现象.为此，分析算法需具备模式变化判别、变化时刻判别和频率接近模式的甄别等功能.

根据振荡理论，模式与特征根相对应，频率和阻尼变化即意味着模式变化.据前所述，所提方法滑窗后能识别模式的变化，若滑窗前、后模式变化，则变化时刻即在滑窗步长内.应综合考虑计算量和变化时刻分辨精度，选择合适的滑窗步长.

由图1可见，阻尼信号带宽与窗口长度T成反比，为1／THz.模式间的间隔频率大于1／T，则相互间的幅值干扰就较小.故T越大，频率相邻模式的分辨率就越高，但计算量也越大，故需综合考虑窗口长度.

1.3 傅里叶基神经网络训练的快速谱分析

实际谱分析都是采用离散傅里叶算法实现的，离散傅里叶（DFT）和快速傅里叶（FFT）算法得到的频谱是真实信号频谱与噪声信号频谱的叠加［23］.根据傅里叶算法的分析思路，尝试采用傅里叶基神经网络模型.由于低频振荡频带较窄，故正交基神经元个数不多，便于构造小型的单隐层神经网络模型，只需训练隐层与输出层之间的权值.采用递推最小二乘法训练，不涉及复数的乘法运算和复数的加法运算，且还具有随机噪声的滤波功能［23］.

2 基于神经网络谱分析的模式识别

2.1 基于神经网络训练的谱分析

或

式中 Ts为采样周期，且Ts≤π／ωmax，采样序列m=0，1，...，M，其中M=T／Ts.

由式（13）可建立单隐层傅里叶基神经网络.设wi为神经网络权值，di为隐层神经元激励函数，其为三角基函数：

设权值矩阵W=［w0，w1，…，wN，wN+1，…，w2N］T，激 励 矩 阵D=［d0，d1，…，dN，dN+1，…，d2N］T，则神经网络的输出为

其误差函数为

设性能指标为

故窗口内信号的频谱系数为

周期信号的傅里叶系数与一个周期内的傅里叶变换关系为

故可由神经元权值得到对应频率的谱分量幅值：

设神经元截止频率为fH，则神经元个数为

式中 T为窗口时间长度.由于低频振荡带宽较窄，fH一般只有几赫兹，故神经元个数不多.

由于隐层神经元激励函数各不相同，符合生物神经元的基本特征，因此，该神经网络模型不仅具有快的收敛速度，而且可以有效避免训练过程中陷入局部极小的问题.由于测量的样本数据不可避免地存在测量误差（随机噪声），为了提高计算精度，采用具有滤波性能的递推最小二乘法（RLS）来训练神经网络权值向量.

2.2 模式的识别

隐层神经元的频率值是离散的，实际振荡频率可能与某个隐层神经元频率一致，也可能不一致.

1）当实际振荡频率与某隐层神经元激励函数频率一致时，即ωm=kω0，k为整数.经神经网络训练后，得到振荡信号的谱分量分布，如图4所示.可见，只有角频率为kω0对应的幅值最大.

图4 无频率泄漏的谱分量分布Figure 4 Spectral component distribution without frequency leakage

根据前述思路，经滑窗训练后，窗口时段低频振荡角频率：

根据式（9），则窗口内的瞬时阻尼为

将式（21）代入式（24），可得

将式（5）、式（21）代入式（25），可得

2）当实际振荡频率与隐层神经元频率不一致时，即ωm=（k1+r）ω0，其中，k1为整数，而0＜r＜1.

经神经网络训练，得到窗口振荡信号的谱分量分布，如图5所示.可见，角频率k1ω0和（k1+1）ω0对应的幅值较大.

图5 频率泄漏的谱分量分布Figure 5 Spectral component distribution with frequency leakage

根据式（9），为减少误差，可由根据频率为k1ω0和（k1+1）ω0对应的谱分量计算窗口时段的瞬时振荡阻尼：

将式（21）代入式（28），可得

由式（7）可知

将阻尼σ代入式（30）可求出参数r，可得角频率：

将式（5）、式（21）代入式（32），可得

3）主导模式鉴别.当某窗口中，相邻频率分量能量都较大时，可能有频率泄露造成和存在频率接近的2种模式.此时，将2种情况的模式分别拟合，再与样本进行误差比较，采用拟合误差作为鉴别依据.拟合误差为

3 振荡模式识别的算例及分析

3.1 平稳振荡模式识别的比较

构造平稳信号：

取窗口宽度T=10s，β=104，W（0）=0，滑动步长为1s.在无噪声时，2种算法的分析结果如表1所示；加入信噪比为10dB的白噪声后，2种算法的分析结果如表2所示，其中Prony算法仅列出幅值较大的2个振荡模式.

表1 无噪声时2种算法分析结果Table 1 Analysis results of two algorithms without noise

表2 含白噪声时2种算法分析结果Table 2 Analysis results of two algorithms with white noise

由表1可知，在无噪声的影响下，2种算法都可以准确地获得振荡特征参数；由表2可知，在白噪声的干扰下，Prony算法识别结果中阻尼和幅值都出现了较大误差，而且拟合阶数较高，出现了多余的振荡模式，给主导模式的筛选带来困难；该文算法识别结果几乎不受影响，抗噪声性较好.

3.2 时变多模式时的识别比较

为模拟振荡模式随时间变化的情况，构造一个由4个时间段组成的信号［2］，具体参数如表3所示.取窗口宽度T=4s，β=104，W（0）=0，滑动步长为1s.小波脊算法分析结果（小波中心频率ω=18）［2］如表4所示；该文算法识别结果如表5所示，训练次数为2次.由表4，5可知，小波脊算法可进行时变信号的分析，但其整体误差较大，该文算法识别结果较为准确，更适合具有时变特性信号的识别分析.

表3 4个时间段信号的组成分量Table 3 Signal components with four time segments

表4 小波脊算法分析结果Table 4 Analysis results with wavelet ridge algorithms

表5 该文算法分析结果Table 5 Analysis results with the algorithm

加入信噪比为10dB白噪声后的信号曲线如图6所示，加噪后该文算法分析结果如表6所示，加噪后该文算法的识别效果如图7所示.由表6和图7可知，在白噪声的干扰下，该文算法依然能较为准确地识别各模式参数及模式的时变特性，误差较小，具有较好的抗噪性.

图6 加噪后信号Figure 6 Signal with white noise

表6 加噪后该文算法分析结果Table 6 Analysis results of the algorithm with white noise

图7 含白噪声时的时变多模式识别效果Figure 7 Effect of time-varying muti-pattern recognition with white noise

3.3 多模式叠加时的识别比较

构造一个由3个模式组成的信号，具体参数如表7所示，加入信噪比为10dB白噪声后的信号曲线如图8所示.取窗口宽度T=10s，β=104，W（0）=0，滑动步长为1s.加噪前该文算法的识别结果如表8所示，加噪后该文算法的识别结果如表9所示，加噪后该文算法的识别效果如图9所示.训练次数为2次.

由表8可见，在多模式叠加的情况下，该文算法能较为准确地识别出信号各振荡模式参数及各模式的时变特性.由表9和图5可知，在白噪声的干扰下，该文算法依然能较为准确地识别各模式及模式的时变性，误差较小，具有较好的抗噪性.

表7 信号的组成分量Table 7 Signal components

图8 加噪后信号Figure 8 Signal with white noise

表8 加噪前分析结果Table 8 Analysis results without noise

表9 加白噪后分析结果Table 9 Analysis results with white noise

图9 含白噪声时的多模式叠加识别效果Figure 9 Effect of muti-pattern superposition recognition with white noise

4 结语

Prony算法相比傅里叶算法，模型中有衰减因子，看似适合于低频振荡模式识别，但正是因为模型复杂，导致了求解困难、抗干扰较差.其实，只要滑动窗口，进行谱分量的幅值比较即可解决阻尼识别问题；另外，模式变化也可通过滑窗后频谱的变化来判别，识别的时间误差小于滑窗步长.算例结果证明了该方法的可行性.

为提高抗干扰性，采用了递推最小二乘法训练傅里叶基神经网络的频谱分析方法.由于低频振荡的带宽较窄，神经元个数较少，采用最小二乘法训练能快速收敛.仿真表明，在白噪声和多模式叠加的情况下，都能快速可靠地识别振荡主导模式，满足在线识别要求.需要说明的是，该算法具有相位识别能力，只是一般情况下不需要，故未提及.

开窗和滑窗分析符合实测数据在线分析的实际过程.对工程中广泛采用的频谱分析方法的改进，既保留了原有经验，又解决了实际问题.

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