郭 谱， 徐延召， 周 诚， 何 然

(1.华中科技大学 土木工程与力学学院， 湖北 武汉 430074；2.中铁隧道集团有限公司， 河南 洛阳 471009)

盾构法施工具有机械化程度高，地层扰动小，掘进速度快，对环境影响低等特点，在隧道工程中得到了广泛应用[1]。但国内外工程实践表明，盾构施工不可避免的会引起土体扰动，而导致不同程度的地表隆沉以及地层水平位移的发生[2]。盾构施工过程中产生不允许的土层变形位移和过大的地表沉降差异，进而对浅埋构筑物、道路路基和路面、已建地铁、高架、立交及各类地下管线等市政设施造成的次生灾害的规律、预测、控制和防治已成为盾构隧道现代化建设中的一个亟待解决的重要课题[3]。

盾构施工地表变形时间序列分析的目的，就是建立盾构施工地表变形时间过程模型，并辨识该模型结构及其蕴含的盾构-环境系统时间效应特征参数，实现对盾构施工地表变形时间过程的预测。目前建立时间过程模型主要有两种方法[4～6]:一种是基于土体本构关系的数值分析方法，另一种是基于实测资料的时间序列分析方法。前者采用Biot固结理论的有限元分析方法，由于土体本构关系的复杂性(粘弹塑性、损伤结构性等)，计算代价较大，主要用于重要地段，且该方法所采用的本构模型与工程实际存在差距，因而预测结果难以令人满意；后者是较为实用的方法，得到了广泛运用，但存在预测模型性状和实际土体变形性状脱节的问题，表现为完全是一种数学拟合，而缺乏对实际问题本身机理的分析。这种方法在拟合沉降量的变化趋势与实际趋势上基本能保持一致,可以对地表沉降趋势作出定性的判断,但对于精度要求较高、需要进行长期监测的沉降而言，拟合值会随着预报次数的增加而呈现线性变化趋势,从而与实测值之间存在着一定差异[7～9]。

鉴于此，本文以武汉地铁二号线一期某盾构隧道工程为背景，针对单线盾构隧道施工过程中单个地表变形监测点的竖向位移，在综合比较时间序列确定性分析和随机分析两种方法优缺点的基础上，提出了基于Weibull-ARIMA的盾构施工地表变形时间过程模型，既实现快速挖掘盾构施工的地表变形趋势特征，具备良好的工程解释能力，又能够反映变形时序过程的动态特性，综合反映出各种随机因素对变形时序的影响，从而为类似工程提供有益参考。

1 盾构施工地表变形时间序列特征

由于天气、施工等的影响以及在不同变形阶段需进行不同的监测频率等原因，盾构施工地表变形时间序列在时域和空间域上是不等间距的，监测起止时间内获取的样本数量通常在20～50个之间，当盾构掘进速度很快时，监测数据样本会更少，属于典型的小样本短时间序列。

随着数据样本的增加，盾构施工地表变形时间序列在整体上呈现出一种下降趋势，从细节上看其趋势本身也会发生变化，是一种典型的非平稳时间序列。盾构施工地表变形的时间序列大致可以划分为变形初始阶段、发展阶段和衰减阶段，随时间变化的全过程趋势性特征呈“S”型[10]，如图1所示。

图1 盾构隧道地表变形一般规律

另外，盾构施工过程中，盾构施工参数的改变与岩土环境变形并不是同步的，盾构施工变形存在滞后效应，即盾构变形时间序列中具有一定相关性，这种自相关性是盾构地表变形时间序列的一个重要的特征，表征了产生该时间序列的系统底层机制的动态特征和“记忆”性。

2 盾构施工地表变形时间序列分析

从上面的分析可以看出，利用插值方法处理后的盾构施工地表变形时间序列，是一条典型的非平稳等间距时间序列，并具有趋势性和自相关性特征。根据Cramer分解定理，可以分别利用确定性时序分析和随机性时序分析研究建立盾构施工地表变形的时间过程模型。

2.1 基于Weibull生长曲线模型的确定性分析

盾构施工引起地表的累计变形量与时间的关系在形态上呈现为大致的“S”型生长曲线，因此在不考虑随机因素影响下，盾构地表变形时间序列可以利用“S”型生长曲线进行确定性分析。针对盾构地表变形时间序列，通过比较各种“S”型生长曲线在不同时间段内的特征，本文选取Weibull生长曲线作为盾构地表变形时间序列的确定性分析模型，对于盾构地表变形时间序列样本，其Weibull曲线拟合方程为：

f(t)=a-(a-b)exp[-(ct)d]

(1)

其中，a为盾构地表变形最终值，b为盾构地表变形初始值，c为盾构地表变形曲线比例参数，d为盾构地表变形曲线形状参数。

Weibull生长曲线模型作为一种简单有效的趋势拟合算法，在解决盾构地表变形时间序列非平稳时序趋势项提取问题时具有较强的适应和变化能力，参数所体现的工程物理意义更加明显。但是Weibull曲线模型的确定性分析只能提取强劲的确定性信息，对随机性信息浪费严重，导致模型的拟合、预测及控制精度不够等。

2.2 基于ARIMA模型的随机性分析

ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合，即盾构施工地表变形时间序列可利用d阶差分提取趋势性信息后，再利用ARMA模型进行随机分析，对于盾构地表变形时间序列样本{xi}，建立具有如下结构的模型称为求和自回归移动平均(Auto Regressive Integrated Moving Average)模型，简记为ARIMA(p,d,q)模型：

(2)

由此可见，ARIMA模型的优势在于其时变动态特性，以及对随机因素的综合考虑，但模型的阶数、参数容易受到时序数据样本量及样本时距大小的干扰，对于利用插值方法处理后的不等间距小样本盾构地表变形时间序列，容易出现模型降阶、升阶等失真，甚至无法建立模型；而且ARIMA模型的阶数、参数不能直观刻画变形曲线的特征，不具备良好的工程解释的能力。

3 Weibull-ARIMA时间过程模型

3.1 Weibull-ARIMA模型总体思路

综上所述，研究建立盾构施工地表变形的时间过程模型，确定性时序分析和随机性时序分析有各自的特点和优势，同时也存在一定的缺陷和不足。本文考虑结合两种方法的优势，提出基于Weibull-ARIMA的盾构施工地表变形时间过程模型，这一耦合模型的总体思路是：先利用Weibull生长曲线进行盾构施工地表变形时间序列的非线性拟合，提取盾构施工地表变形的趋势信息；再运用ARIMA模型分析Weibull生长曲线的拟合残差，提取盾构施工过程中在随机因素作用下的地表变形响应细节信息。通过Weibull-ARIMA耦合模型的结构与参数分析，能够有效提取变形趋势部分和变形细节部分，过滤变形噪声部分，既有效的防止了仅利用变形趋势部分建模造成的欠拟合，也不会出现局限于变形噪声部分造成的过拟合，如图2所示。

图2 盾构施工地表时间序列不同模型下的分析结果

3.2 建模算法步骤与流程

图3 基于Weibull-ARIMA的盾构地表变形时间序列分析流程

基于Weibull-ARIMA的盾构施工地表变形时间过程建模如图3所示，包括：

(1)利用三次样条插值函数对盾构施工地表变形时间序列进行预处理，得到等间距、满足分析样本量要求的盾构施工地表变形时间序列。

(2)对预处理后的盾构施工地表变形时间序列进行Weibull生长曲线建模，运用非线性参数估计方法确定模型参数a,b,c,d。

(3)对Weibull生长曲线拟合后的残差序列进行平稳性检验，满足平稳性检验的，转向步骤(5)。

(4)对非平稳拟合残差序列，选择合适的阶数d进行差分运算，直至差分后序列满足平稳性检验。

(5)对差分后的拟合残差序列进行白噪声检验，满足白噪声检验则转向步骤10。

(6)对差分后的拟合残差序列，根据样本自相关系数函数ACF和样本偏自相关系数函数PACF的性质，确定ARMA模型的自相关阶数和移动平均阶数q。

(7)对ARMA(p,q)模型中p+q个未知参数进行估计。

(8)检验ARMA(p,q)模型的有效性，如果模型不能通过检验，转向步骤(6)，重新选择模型再拟合。

(9)如果模型通过检验，转向步骤(6)，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的拟合模型中选择最优模型。

(10)利用拟合的Weibull-ARIMA模型，预测盾构地表变形时间序列的未来走势。

4 工程实例分析

4.1 工程及监测概况

武汉地铁二号线一期工程某盾构隧道左右双线各采用一台刀盘外径为Φ6.52 m的德国海瑞克泥水盾构机掘进施工。施工前沿纵向在有条件的位置布设地表监测横断面，每断面8～15个监测点，横向监测范围为隧道中线H+2D；同时沿武汉越江地铁盾构隧道左右双线纵向拱顶位置每5～10 m布设一个地表监测点，并在盾构进出洞及重要敏感地段适当加密布设，地表监测点的布设平面图、剖面图如图4所示。

4.2 地表变形时间序列样本及其预处理

本文系统收集整理了本工程盾构隧道右线轴线拱顶43个地表监测点全过程的变形监测数据，以盾构刀盘到达前50 m至盾尾通过后150 m范围作为监测时间序列研究靶区，根据监测数据的连续性、完整性、可靠性程度，选取其中10个地表监测点，经过三次样条函数插值处理后的变形时间序列样本作为研究建模对象，如图5所示。

图4 武汉越江地铁盾构隧道左右双线地表监测点布置

图5 武汉越江地铁盾构隧道地表监测时间序列样本

4.3 模型拟合结果及比较分析

针对上述武汉地铁越江盾构隧道右线轴线的10个地表监测点变形时间序列，本文运用Matlab程序语言，分别利用Levenberg-Marquarat算法和Gauss-Newton迭代算法估计模型参数，建立了Weibull-ARIMA耦合模型，计算出模型中的Weibull生长曲线参数a，b，c，d以及ARIMA模型结构(阶数)和参数，具体如表1所示。

表1 武汉地铁越江盾构隧道地表变形时间序列分析结果

分析结果表明，基于Weibull-ARIMA的盾构施工地表变形时间过程模型的所有参数和拟合最终残差，都通过了显著性检验，验证了该模型的合理性和有效性。为有效比较和评估同一盾构施工地表时间序列样本不同时间模型下的拟合精度和效果，本文选取不同时间模型的统计量进行分析。图6～8分别给出了每个盾构施工地表时间序列样本三种时间模型下的残差平方和RSS、均方根误差RMSE、模型效率EF计算结果。可以看出，每个样本的残差平方和RSS、均方根误差RMSE最小的时间模型都是Weibull-ARIMA模型，说明在不同测点、不同样本量的条件下，Weibull-ARIMA模型的拟合精度最好；而模型效率EF越接近1，说明模型拟合的效率越高，每个样本的模型效率EF最接近于1的时间模型也是Weibull-ARIMA模型。总体而言，Weibull-ARIMA耦合模型表现出优良的盾构施工地表变形时间建模性能，特别是在拟合精度和建模效率上，均明显优于单纯的Weibull模型或者ARIMA模型。

图6 三种时间模型下的残差平方和RSS

图7 三种时间模型下的均方根误差RMSE

图8 三种时间模型下的模型效率EF

4.4 模型参数特征分析

(1)盾构施工地表最终变形参数a。该参数决定盾构地表稳定变形值的大小，既是时间过程模型参数，也反映出地表变形的空间分布。

(2)盾构施工地表初始变形参数b。该参数与样本点开始监测的时间有关，当时表明该样本点首次监测的地表变形值为零，否则不然。

(3)盾构地表变形时间序列的比例参数。该参数决定盾构地表监测点从开始变形到稳定的时间长短。固定参数，随着参数增加倍，盾构地表变形时间序列始终保持“S”形状，但盾构地表变形速率曲线将沿轴放宽倍，相应的盾构地表变形速率缩小为原来的。选取参数值近似相同的地表监测点DK14+792和DK14+516，由于c值不同，造成DK14+792比DK14+516的变形速率峰值小很多，如图9所示。

图9 参数c对耦合模型拟合结果的影响

(4)盾构地表变形时间序列的形状参数。该参数决定盾构地表监测点沿时间轴的变化路径。固定参数，当时，曲线呈“凸”型，用于拟合盾构工后地表变形时间序列，当时，盾构地表变形曲线为“S”型，随着参数的增加，盾构地表变形速率峰值对应的时间收敛于定常值，但变形速率曲线的尖峰越陡峭。表1计算结果中所有样本均满足，验证了盾构施工引起的地表变形为“S”型。选取参数值近似相同的地表监测点DK14+787和DK14+552，由于d值不同，DK14+787比DK14+552的变形速率峰值大，但变形速率峰值出现的时间非常接近，如图10所示。

图10 参数d对耦合模型拟合结果的影响

(5)随机ARMA模型参数。该参数决定盾构地表监测点变形随机响应细节信息的比重。在不考虑随机ARMA模型的拟合误差情况下，盾构地表监测点变形随机响应细节信息可以转化成一个等比数列，公比就是ARMA模型参数。因此ARMA模型越大，说明变形随机响应细节信息所占原始时间序列的比重越大，随机因素表现强烈，而且衰减速度慢，反之则否。选取地表监测点DK14+762和DK14+552，如图11所示， DK14+762比DK14+552的随机AR(1)模型序列振幅大，且衰减较小。

图11 ARIMA模型参数对耦合模型拟合结果的影响

5 结 语

盾构施工地表变形时间序列具有非等间距、小样本、趋势性和自相关性等关键特征，在综合比较盾构地表变形时间序列的确定性分析和随机分析方法优缺点的基础上，本文提出了基于Weibull-ARIMA的盾构施工地表变形时间过程模型，系统给出了基于Weibull-ARIMA的盾构施工地表变形时间过程模型的建模流程和算法。

武汉地铁二号线一期越江盾构隧道地表变形实际监测数据分析结果表明：利用Weibull-ARIMA时间过程模型可以有效的提取盾构施工引起的地表变形的时间分布规律，具有比Weibull生长曲线模型和ARIMA模型更强的拟合能力和精度，方法简单易操作，具有较强的工程实用性，并结合工程实际分析了Weibull-ARIMA时间过程模型参数的合理性、工程意义和变化规律。

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