韩英豪，任怡静，梁建华

(辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029)

无界区域上具有记忆项的半线性耗散波动方程的整体吸引子的维数估计

韩英豪，任怡静，梁建华

(辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029)

Hausdorff维数;分形维数;记忆项;整体吸引子

为了避免不必要的常数出现，不妨假设 k(∞)=1。利用 V.Pata在文献［5］中采用过的方法，把过去的位移的变化量用新的变量来表示。也就是说，方程(1)通过变换

得到方程组

该方程组的初始条件为

这里 η0(x，s)=u0(x，0) －u0(x，－s)。

本文首先研究方程(2)的初值问题，为此给出所需要的各种条件，定义相空间，并给出本文中有用的几个引理;然后集中处理方程所决定的半群的可微性;最后根据特征方程－φ(x)△u=au，x∈RN的特征值a分布的渐近估计得出Hausdorff维数和分形维数的上界。

1 准备工作

2 X0中整体吸引子的Hausdorff维数

首先证明方程组(5)所决定的半群S(t)在相空间X0上的Fréchet可微性，然后根据算子A=－φ△的特征函数的渐近分布，利用Liouville公式估计Hausdorff维数和分形维数的上界。为此，首先给出Hausdorff维数和分形维数的定义。

度量空间H的子集A⊂H的Hausdorff测度定义为

式中，C(A，ε)是由A的所有半径为ri≤ε的球构成的覆盖的集合，那么容易看出μH(A，d)关于d是不增的。因此Hausdorff维数定义为

而分形维数的定义是

下面考虑半群S(t)的可微性。在本文中字母c始终表示正常数，其值在不同的场合表示不同的值。

引理4在命题1的假设条件下，如果f还满足(H5)，那么，对任意给定的方程(5)的解u(t)，线性化方程

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Estimates on the Dimension of the Global Attractor for a Semilinear Dissipative Wave Equations with Linear Memory on RN

HAN Ying－hao，REN Yi－jing，LIANG Jian－hua
(School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

hausdorff dimension;fractal dimension;memory term;global attractor的状态。当k(s)≡1时此模型为半线性波动型方程，在海洋学、声学、地球物理学等学科中经常出现。此处φ(x)表示在一点x∈RN处的波动的速度。对有界区域的情形，此类问题已经有了很深入的研究。然而，对无界区域的情形，仍有不少问题有待解决。近几年来有不少学者对此问题进行了研究，如Ph.Brenner在文献［1］中得到了此类方程的整体强解的存在性，E.Feiresl在文献［2－3］中研究了此类方程的解的渐近行为和紧吸引子的存在性，N.I.Karachalios和 N.M.Stavrakakis在文献［4］中研究了此类方程的整体吸引子的维数估计。具有记忆项的波动方程出现在对由周围粘弹性环境引起的具有衰减记忆的波动理论的研究中，例如具有记忆性能的电磁材料等领域的理论研究经常出现。最近有很多学者研究了具有记忆项的波动方程，如文献［5－6］等。韩英豪等人在文献［6］中研究了在无界区域上具有记忆项的波动方程的吸引子的存在性。本文在此基础上研究了在无界区域上具有线性记忆项的耗散波动方程的整体吸引子的Hausdorff维数和分形维数的上有界性。

O175.29

A

1009－315X(2012)01－0037－06

2011－11－03;最后

2011－11－25

韩英豪(1963－)，男，朝鲜族，吉林延边人，副教授，博士，主要从事无穷维动力系统研究。

(责任编辑 邹永红)