李再帏，练松良

同济大学道路与交通工程教育部重点实验室，上海201804

轨道不平顺不仅直接影响列车的行车安全与平稳，且其引起的动荷载将进一步加速轨道的恶化和不平顺的发展［1］. 因此，深入研究轨道不平顺对保障列车行车的安全性和舒适性有重要的意义. 目前，我国主要采用惯性基准法进行动态轨道不平顺检测，但轨道水平和轨距不平顺结果与手工测量一致并没有经过滤波处理，因此检测结果容易受到设备漂移和标定误差的影响，常具有非平稳特征. 国内外针对此问题已展开相应研究，并取得一定成果［2-3］. 这些方法多采用傅里叶变换和小波变换方法，前者要求信号是线性、周期性或平稳的，对非线性信号效果不好;而后者存在难于选择小波基函数的问题. 为此，本研究提出采用希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang transform，HHT)方法［4］对轨道不平顺信号进行检测分析，该方法是近年发展起来的针对非线性、非平稳信号的自适应性分析方法，其优势在诸多领域已初露端倪［5］. 本文介绍HHT已有改进成果，针对其中的端点效应问题提出新的处理方法，并已将其应用在轨道不平顺信号分析中，且取得了良好效果.

1 HHT 基本原理及存在问题

1.1 基本原理

HHT 方法主要包括经验模态分解法(empirical mode decomposition，EMD)和Hilbert 谱分析两部分［4］. EMD 是将信号分解为不同尺度特征的本征模态函数(intrinsic mode function，IMF)，这些IMF满足如下条件:①极值点的数量和过零点的数量相等，或最多相差1 个;②任意时间点上，信号的局部极大值与局部极小值定义的包络均值必须是零. EMD 方法的本质是通过特征时间尺度获得信号的IMF，然后利用IMF 不断地“筛”信号.

利用EMD 分解信号x(t)的一般步骤［4］如下

步骤1 找出待分析信号x(t)的全部极大值和极小值，利用3 次样条函数分别将其拟合为该信号的上下包络线，计算出包络线的均值m1，进而求出待分析信号与m1的差值h1，

h1不一定满足IMF 的要求，需对其重复上述过程，即将h1视为新信号，求均值m11，进而求出待分析信号与m11的差值h11，

重复该过程，直至满足IMF 条件，得到第1 个IMF分量c1，并求出原信号与该IMF 的差值r1，

步骤2 将r1作为待分解信号，重复以上过程，r2= r1- c1，…，rn= rn-1- cn-1，直至剩下的rn不可分解或其研究意义已经不大.

经过经验模态分解后，信号变为各IMF 与1 个趋势项之和

对上述经EMD 分解得到的IMF 分量ci进行Hilbert变换得

其中，省略了残余函数rn. 展开式(5)称为Hilbert幅值谱，简称Hilbert 谱，记作

由于上述HHT 变换完全自适应，因此，所得Hilbert 谱能同时在时域和频域获得很高的分辨率.

1.2 存在问题

EMD 分解是HHT 方法的核心，其分解性能直接关系到HHT 结果的准确与否. 在EMD 分解过程中，由于采用以极值点作为插值点的3 次样条拟合来构造包络线，而信号在端点处往往为非极值点，这就导致每次样条插值都有拟合误差，随着分解次数的增加，误差不断累积，分解出的第1 个IMF 在端点处就有较大误差. 而第2 个IMF 的分解是建立在原信号减去第1 个IMF 的差值的基础上，这就使待分解信号也产生误差，导致分解的第2 个IMF 产生更大误差. 依此类推，随着分解的进行，误差就会由端点向内“污染”整个数据序列，并导致分解的数据失去意义，这种现象就是端点效应.

抑制和消除端点效应的办法是对信号进行端点延拓，即在数据两端通过一定的方式增加数据序列长度，经HHT 后，在所得结果中除去延长部分，就可有效消除端点效应. 目前提出的镜像延拓法［6］、神经网络法［5］、支持向量法［7］与波形特征匹配法［8］等，在一定程度上解决了端点效应问题，但仍存在局限性. 一般认为镜像延拓法抑制端点效应的效果最好［9］，但其要求把镜面放在局部极值点处，若镜面未放置在局部极值点处，将引入高频成分而使两端点处失真，导致处理效果欠佳. 基于上述分析，本研究提出利用镜像延拓法与灰色神经网络预测法相结合来抑制端点效应.

2 基于镜像延拓和灰色神经网络的数据序列延拓法

根据分析对象轨道不平顺数据的随机性［11］，并考虑到其形成发展与诸多影响因素间是一种普遍存在的灰色不确定关系，选取1 阶灰色神经网络方法预测样本. 该方法不仅具有计算量小、在少样本下可达到较高精度的特点，而且吸取神经网络计算精度高、误差可控的优点，其建立过程如下.

①建立轨道不平顺数据x(t)的灰色微分方程

其中，a 和u 为待定参数. 对式(7)求解得其离散响应函数

则

②将式(9)映射到BP 神经网络中进行“白化”处理，其相应网络的权值可进行如下赋值

建立输入层为LA、隐层为LB 和LC、输出层为LD的4 层灰色神经网络结构，其模型结构如图1.

图1 灰色神经网络结构图Fig.1 Structure of Gray neural network

为验证算法的有效性与适用性，本研究分别采用镜像延拓法、神经网络延拓法、支持向量延拓法和波形特征匹配延拓法对信号进行HHT 计算. 其中，神经网络选用BP 网络，权值和学习率根据变换结果适当调整，以达到最佳效果;支持向量机采用K-CV 方法选取最优惩罚参数c 和核函数参数g;波形特征匹配延拓根据波形的相关特性，用信号中与边界三角波形最匹配的波形来预测边界点值.

实验信号选用仿真信号和实测信号. 仿真信号采用幅值为2 mm、波长为7 m，幅值为0.2 mm、波长为0.5 m 及幅值为1 mm、波长为15 m 的轨道不平顺信号组合，即

实测信号以2008 年京广提速干线的一段轨距不平顺检测数据为例，两个信号长度都取400 m. 实验信号波形如图2.

图2 实验分析的原始波形图Fig.2 Original wave form of experiment

为比较各方法的分解效果，采用能量指标θ［9］、相关系数ρ 和分解时间t 作为评价指标，其中θ 为

其中，RMSorginal为原信号的有效值;RMSi为第i 个IMF 的有效值;n 为IMF 总数，包括EMD 残留项.根据定义θ≥0，若端点效应对EMD 没有影响，则θ= 0. θ 值越大，说明端点效应的影响越大. 计算结果如表1.

分析表1 可知，当没有进行边界延拓时，端点效应对EMD 分解的影响非常严重，各指标值均较差. 进行端点延拓后，在能量指标上，镜像延拓法与灰色神经镜像延拓法较好，而其他算法差别不大;在相关分析上，支持向量机延拓法、镜像延拓法和灰色神经镜像延拓法较其他算法效果好;在运算时间上，采用智能算法的延拓算法运算时间普遍较长，灰色神经镜像延拓是3 种算法中时间最少的. 可见，灰色神经镜像延拓法除运算时间略长之外，在其他方面都显示出良好效果，可以采用此方法对轨道不平顺信号进行分析.

表1 几种端点处理方法的性能比较Table 1 The comparison of different algorithms

3 轨道不平顺检测信号分析

轨道不平顺检测信号源自2008 年5 月京广提速干线铁路下行方向0 号高速综合检测列车数据，采样频率为0.25 m，采样点为4 000 个/km. 对于轨道不平顺来说，200 km/h 线路轨道不平顺管理波长为120 m，所以只需对原信号进行HHT 高通滤波，就可去除波长大于120 m 的IMF 分量，这样就可以有效检测信号，并去除低频趋势项.

轨道轨距和水平不平顺在样本长度为400 m时，原始波形和去除低频趋势项结果如图3. 对比波形可发现，通过去除低频分量的HHT 高通滤波，可有效消除轨道不平顺信号中的趋势项且较完整的保留信号的波形特征，进而获取精度较高的轨道不平顺信号值.

为验证对整个干线铁路区段使用该方法的效果，取长度为200 km 的线路，轨道轨距和水平不平顺去除低频趋势项前每公里平均值和中位值变化曲线如图4(a)和图4(b);去除趋势项后每公里平均值和中位值变化曲线如图4(c)和图4(d). 可见:原始轨道不平顺由于受设备漂移、标定误差、钢轨磨耗和设计缺陷等原因影响，均值和中位值偏离零线，且随里程变化较大;在经过HHT 处理后，其均值和中位值已基本接近零，轨道不平顺中的趋势项基本消除，处理后的轨道不平顺可直接用于轨道质量评价.

图3 轨道轨距和水平不平顺去除低频趋势项结果对比Fig.3 Comparison of gauge and cross irregularity level before and after eliminating the low frequency trend

轨道轨距和水平不平顺轨道质量数［10］(track quality index，TQI)去除低频趋势项前后变化曲线如图5. 分析数据的样本长度为20 km. 由图5 可知，轨距和水平不平顺的标准差值在去除趋势项前的TQI 指标值较大，特别是水平不平顺指标值超过TQI 指标管理值1.9 的里程数较多;处理后，TQI值显著减小，水平不平顺指标值得到一定改善，超限里程明显减少，符合现场轨道的实际状态. 因此，通过对轨距和水平不平顺进行去除低频趋势项的处理，可有效提高检测信号的准确性，从而保证轨道质量评价的合理性和有效性.

图4 轨距与水平不平顺去除低频趋势项前后每公里平均值和中位值随里程变化曲线Fig.4 Curves of mean and median of gauge and cross level before and after eliminating the low frequency trend

图5 轨距与水平不平顺去除低频趋势项前后TQI 变化曲线Fig.5 Curves of track quality index of gauge and cross level before and after eliminating the low frequency trend

结 语

本研究针对HHT 的端点效应问题，提出采用镜像延拓法和灰色神经网络端点延拓法对HHT 进行改进. 利用该方法对轨道不平顺检测数据进行分析，结果表明，镜像延拓和灰色神经网络的端点延拓法更适合于轨道不平顺信号分析;该方法可以有效去除轨道轨距和水平不平顺中低频趋势项，提高轨道不平顺信号的精度，有益于轨道质量评价.

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