欧阳超常，陈菊芳，彭建华

1)深圳大学物理科学与技术学院，深圳518060;2)东北师范大学物理学院，长春130024

利用混沌或超混沌具有的伪随机特性以及这类系统间存在的同步特性，可实现混沌或超混沌的保密通讯，使混沌同步理论在工程技术上凸显其重要的价值和广阔的应用前景，成为近年来非线性科学领域研究的重要课题之一.

两个相同混沌或超混沌系统(也称同构系统)的协同效应，包括完全同步［1-2］和完全反同步［3］、广义同步和广义反同步［4-5］;相同步与反相同步［6-7］;预期或延迟同步和反同步［8-10］等类型. 然而，从实际应用角度出发，人们更期望尽可能地提高加密信息的抗破译强度，通常采用具有两个或以上李氏指数的超混沌系统，再结合用异构超混沌系统作为密钥系统的方法. 但如何构造这种系统，使其在实际使用中更灵活且易实现，以及怎样实现异构超混沌系统的同步，使实际用以传输驱动信号的信道最少这两个问题必须解决. 本研究采用两个广义离散超混沌映射作为异构系统［11-12］，这两个系统的主要特点是维数均可变，当系统维数大于2 以后，每增加一个线性迭代方程，则系统增加一维，同时系统大于零的李氏指数也递增一个，该系统简单且易于实现. 采用单路信号控制［13-14］，可确保所用信道最少，实现异构超混沌系统多类型的同步.本研究将通过理论分析、数值计算和电路实验［15］，探讨异构超混沌系统发生多同步态的特性和规律，为实际应用提供有指导意义的理论和实验依据.

1 异构系统的构造和稳定性分析

本研究提出的驱动系统为具有平方非线性项的广义离散系统［11］，即

响应系统为具有立方非线性项的广义离散系统［12］

其中，k 为离散时间;i 为系统可衍生的维数;a1、a2、b1和b2均为可调参数;ψm为实现同步态所设计的控制项. 若ψm= 0，则该系统为广义立方离散系统. 系统(1)和系统(2)的动力学特征见文献［11-12］.

其中，c 为可调参量;α 为非零实数. 当α = 1 或α= -1 时，ei= yi+αxi则表示为系统(1)和系统(2)变量间完全反同步、同步的误差. 将式(3)写成

这里

若所有特征根的模小于1，则表明系统达到稳定条件. 根据Jury 准则［16］，可确定当m = 2，3，4 时，使系统(4)达到稳定参数c 的取值范围为

进一步计算可知:当m 为偶数时，有- (1 -b2)＜c ＜1 - b2;当m 为奇数时，c 的上限值恒为1- b2.

2 数值计算结果

当m = 3 时，系统(1)是超混沌的［11-12］. 将驱动系统(1)和响应系统(2)分别写成

在此范围内取c 值，系统(7)和系统(8)应具有同步或反同步的性质. 通过数值计算验证上述结果，分别设置系统参数a1=1.7，a2=0.05，b1=2.7 和b2= 0.05，初始条件分别设置为(x10，x20，x30)=(0.6，0.75，0.9)和(y10，y20，y30)= (1.5，-0.4，1.65). 则当ψm= 0 时，数值计算广义离散系统(7)和系统(8)的迭代结果如图1. 两系统均具有两个大于零的李氏指数，说明它们都是超混沌.

图1 两个广义离散系统在相平面上呈超混沌状态Fig.1 Hyperchaos of the two different discrete systems

数值计算得到驱动- 响应系统出现的完全同步、反同步和广义反同步，如图2. 其中，广义反同步的状态分量间有y1= -0.8x1的关系.

图2 数值计算得到的同步状态、反同步状态和广义反同步Fig.2 Numerical results of synchronization，anti-synchronization and generalizedanti-synchronization

3 实验电路和测量结果

当m = 3 时，我们设计的异构广义离散超混沌系统电路图，如图3.

为便于实验观测，按照式(10)将驱动和响应系统的变量做标度变换.

其中，i = 1，2，3. 图3 (a)的虚线框内为实现驱动系统(7)的电路，其状态方程为

采样-保持器(sample hold amplifier，S/H)S/H❶～S/H❻组成了离散化连续信号的电路，运放A1构成倒相器，A2构成反向加法器. 电路中分别取R = 10 kΩ，R1= 2 kΩ 和R2= 200 kΩ.

利用图3 (a)电路中运放A3和A4可实现同步驱动信号

实验中取R3= 2 kΩ，R4= 20 kΩ 即对应式(9)中的参数c = 0.5，调节电阻Rw可改变α 的值.

实现响应系统的电路如图3 (b)，对应电路的状态方程为

其中，图3 (b)虚线框内的电路为响应电路;U0与运放A8、A9及相应电阻实现同步控制信号

图3 异构广义离散混沌系统的实验电路Fig.3 Electric circuits of different generalized hyperchaotic systems

其中，R = 10 kΩ，R1= 0.1 kΩ，R2= 3.7 kΩ，R3=200 kΩ，R4= 0.1 kΩ，R5= 4.55 kΩ. 这里的Uc相当于式(9)中的ψ3. 图4 分别展示了实验观测到的驱动和响应电路系统的超混沌吸引子，它们与数值计算结果基本相同.

在实验中，取Rw= 10 kΩ，若将开关接到b点，则有α = -Rw/R = -1，可实现两电路状态的同步，如图5(a);若将开关接到a 点，则有α =- Rw/R = 1，可实现两电路状态的反同步，如图5(b). 保持开关接在a 点，若取Rw= 8 kΩ，则有α= 0.8，测得两电路状态是广义反同步的，如图5(c).

图4 实验测量到的驱动和响应系统的超混沌状态Fig.4 The two different discrete systems chaotic attractors of electric circuits

图5 实验测量到的完全同步态、反同步态和广义同步态y1 = -0.8x1Fig.5 Experiment results of synchronization，and anti-synchronization generalized synchronization

4 讨 论

实验结果与数值计算结果吻合，既表明本研究提出的理论分析、数值计算及设计电路是正确的，又表明只用单路驱动控制信号，也可实现本研究构建的异构离散超混沌系统间多种类型的同步.

虽然我们已就两个广义超混沌系统的多类同步或反同步仅用其中一个分量的计算结果表征，但实际上，描述系统间的同步或反同步态，还可引入如式(15)的特征量进行刻画

图6 给出上述驱动-响应系统分别为完全同步或反同步的结果. 由图6 可见，除初始阶段系统呈现趋向同步过程外，经若干次叠代后，系统(7)和系统(8)之间所有分量的差量平方和趋于零，表明两系统所有分量均达到同步或反同步.

图6 数值计算的误差变化Fig.6 Numerical result of error changes

从理论上讲，参数α 可选取除零外的任意值.但在实际应用中，α 过大和过小都可能导致αx 和y相差过于悬殊，不适于实际应用. 因此通常使αx和y 在等量级的范围内，以此来确定参数α.

这个模型采用的驱动控制信号的方式，在实际应用中更为灵活、便利，无需使用多通道即可实现系统在不同状态上同步的目的.

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