陆金钰，李 娜，范圣刚

1)东南大学土木工程学院，混凝土与预应力混凝土教育部重点实验室，南京210096;2)南京林业大学机械电子工程学院，南京210037

张拉整体是一种轻型高效的结构体系，索处于连续的张拉状态，少量的压杆置身其中，完美地实现结构的自平衡. 索杆结构在特定的预应力成形后表现出一定的刚度，最大限度发挥着索张拉优势.张拉整体结构已较广泛运用于机械控制、航天和生物等领域［1-2］，此结构的衍生物——索穹顶已很好地应用于超大跨度的建筑结构中.

张拉整体是一种形态敏感结构，其优越的力学性能来自合理的几何构形，只有在一定的几何外形及预张力条件下，张拉整体才能成为稳定的结构.为此，找形算法的研究对其至关重要. Tibert 等［3］将张拉整体的找形算法分为静力法与运动学法，主要包括解析法、Schek 和Linkwitz 提出的力密度法、以及由Motro 和Belkacem 较早引入到张拉整体找形中的动力松弛法等. 早期的找形算法通常针对规则张拉整体结构，对结构几何形状的关注较少. 随着研究的不断深入，有学者在经典算法的基础上做了一定改进，形成一些新的找形算法［4-7］，并开始逐渐关注非规则张拉整体及其结构外形. 进化算法能较好地解决实际问题中复杂的优化问题［8］，近年来，进化理念也被成功运用到张拉整体的找形优化中，基于智能算法的找形得到了一定发展，主要包括遗传算法［9-10］、模拟退火法［11］和Monte Carlo 随机搜索法［12］. 基于随机的智能算法能够解决解空间较大且目标和变量间关系复杂的优化问题，具有较好的适应性，但通常需要较多的搜寻步，且耗时较多. 需要指出的是，文献［6-7］ 提出利用力密度与坐标相互迭代进行找形，只需给定索杆连接关系，无需借助目标自应力值及初始节点坐标，具有较大的找形自由度，且算法收敛较快，但未对坐标加以约束，以致无法控制找形后张拉整体结构的节点坐标或形状. 本研究在前人研究基础上，引入节点坐标约束条件，借助构件自应力与节点坐标非线性迭代的求解技术，形成面向几何坐标的张拉整体找形算法.

1 平衡方程

对张拉整体结构的找形研究，通常可以从结构的可动性、力平衡关系及能量的稳定角度出发［13］.本研究基于张拉整体结构的力平衡关系展开讨论.如图1，假设节点i 处连接有构件g 和h，内力分别为tg和th. 节点i 处受外荷载pix，piy和piz作用. 引入力密度概念ζ = t/l，表示构件单位长度受力，则节点i 的平衡方程为

图1 杆系结构几何坐标关系Fig.1 Coordinate relationships of bar assembles

设张拉整体结构包含n 个节点，b 个构件，结构总体平衡方程可由各个节点组装而成. 记力密度向量ζ = ［ζ1，ζ2，…，ζb］T. 则式(1)～(3)可写成

平衡矩阵建立了节点外荷载与单元内力的关系. 以X 自由度为例，平衡矩阵可表示为

其中，节点坐标向量x = ［x1，x2，…，xn］T. 关联矩阵Γ 表示结构拓扑连接关系，维数为b × n，图1 所示子结构，构件h 的起始和终止节点分别为i 和j，关联矩阵元素满足Γhi= 1，Γhj= -1，其余构件以此类推. 记P = ［Px，Py，Pz］T，式(4)可简化为

式(6)可看成以构件力密度ζ 为未知量的平衡方程.若以节点坐标为未知量，可将结构平衡方程写为

其中，X 表示节点坐标向量［x，y，z］T;矩阵D 为力密度矩阵，可表示为

张拉整体为自平衡体系，结构依靠自内力实现节点平衡. 找形的节点外荷载P=0，满足关系

平衡矩阵的秩rank(A)＜b 时，结构至少包含1 个自应力模态，这是结构成为张拉整体的必要条件.

2 算法流程

式(9)和式(10)分别以力密度与节点坐标为未知量，建立了结构力平衡关系. 下面阐述面向几何坐标的张拉整体找形算法及流程，保证找形后结构满足给定节点坐标要求. 分别介绍自应力和坐标的求解方法，并引入已知节点坐标作为约束条件.

2.1 单元自应力求解

对平衡矩阵A 进行SVD 分解

若结构存在s 个自应力模态，则满足下述关系［14］

其中，Vs= ［vb-s+1，…，vb］. 张拉整体的自应力ζ 可由向量vi来构造.

对于单自应力模态(s = 1)张拉整体的找形，则可通过向量vb构造力密度向量ζ. 另外，由于张拉整体的可行预应力需满足杆受压、索受拉的原则，因此若vb向量的拉压符号不满足要求，需要增列正交向量以重新构造力密度ζ［6］.

2.2 节点坐标求解

张拉整体的节点坐标值对应式(10)的非零解.力密度矩阵是正方阵，现对方阵D 特征值分解，

正交矩阵W 为

将式(15)写成分块矩阵形式，

整理式(16)，可得节点坐标值

2.3 迭代算法

由式(5)可知，节点坐标值X 将改变平衡矩阵A，并影响自应力ζ 的值. 同样式(8)表明自应力ζ 会改变力密度矩阵D，并影响坐标值X. 因此该自平衡体系坐标与内力的求解是相互影响的，整个找形算法需采用非线性算法迭代求解. 完整的算法流程为:

①给定需要找形的张拉整体结构拓扑关系，计算关联矩阵Γ，列出已知节点坐标值X0. 初始化力密度向量ζ0，其中杆单元对应的分量为-1，索单元对应的分量为+1;

②利用式 (8)集成力密度矩阵D，按式(13)进行特征值分解. 根据式(17)构造节点坐标X，在坐标X 下修正力密度向量ζ;

③利用式(6)集成平衡矩阵A，按式(11)进行SVD 分解，由单元自应力求解构造新的力密度向量ζ;

④求解收敛指标，不平衡力ΔP=Aζ 及平衡矩阵A 的最小非零奇异值Srr. 若同时满足 ΔP2＜ζP与Srr＜ξP，终止算法;否则返回第②步. 这里ξP为小量，可取10-10.

3 算 例

3.1 六杆24 索张拉整体结构找形

需找形的张拉整体结构共包含24 个索单元，6个杆单元(6S24C)，共计12 个节点. 节点间的拓扑连接关系参照经典扩展八面体张拉整体结构，每个节点上均连接4 个索单元、1 个杆单元，节点及构件编号如图2. 杆单元编号为25 ～30. 指定张拉整体部分节点的坐标值:1(0，0，0)、2(0，1，0)、3(2，0，0)、4(4，3，0)、6(3，2，1). 根据本研究算法，经12 次迭代找到满足坐标要求的张拉整体，如图3 所示. 此结构包含1 个自应力模态和1 个内部机构位移模态，通过乘积力(force product)的正定性［15］，证实此结构几何稳定. 找形后的节点坐标见表1，表2 列出此结构的可行自内力t.

图2 六杆24 索张拉整体拓扑连接图Fig.2 Topology of tensegrity consists of 6 struts and 24 cables

图3 找形后的六杆24 索张拉整体结构(状态1)Fig.3 Computed 6S24C tensegrity structure (case 1)

同样的找形条件，更改指定节点坐标值为1(0，0，0)、3(5，0，-1)、6(0，3，0)、9(2，2，5)、12(6，2，1). 图4 为找到的新张拉整体. 节点坐标与索杆自内力分别见表3 和表4.

图4 找形后的六杆24 索张拉整体结构(状态2)Fig.4 Computed 6S24C tensegrity structure (case 2)

表1 图3 所示结构节点坐标Table 1 Nodal coordinates of tensegrity for Fig 3

表2 图3 所示结构索杆自内力Table 2 Self stress of cables and struts for Fig 3

表3 图4 所示结构节点坐标Table 3 Nodal coordinates of tensegrity for Fig 4

表4 图4 所示结构索杆自内力Table 4 Self stress of cables and struts for Fig 4

3.2 六杆18 索张拉整体结构找形

本算例参照截顶四面体张拉整体结构的拓扑连接关系，寻找新的不规则张拉整体结构，节点及构件编号如图5. 现指定节点1、2、4、5、7 和8 的z坐标为0，且位于圆的6 等分点处，圆半径为1，且节点10 的坐标为(0，0，3). 结构共包含12 个节点，18 个索单元，6 个杆单元(6S18C). 每个节点均连有3 个索单元、1 个杆单元. 找形后的结构包含7 个机构位移模态，1 个自应力模态. 经乘积力的正定性验证，该结构为几何稳定. 其节点坐标见表5，对应的索杆可行自内力值见表6.

图5 六杆18 索张拉整体拓扑连接图Fig.5 Topology of tensegrity consists of 6 struts and 18 cables

表5 图5 找形后结构节点坐标Table 5 Nodal coordinates of computed tensegrity for Fig 5

表6 图5 找形后结构索杆自内力Table 6 Self stress of cables and struts of computed tensegrity for Fig 5

结 语

本研究提出了一种面向几何坐标的张拉整体结构找形算法，解决了部分节点坐标已知的索杆结构自平衡状态找形问题. 将索杆结构的平衡方程分别写成以索杆力密度和节点坐标为未知量的形式，借助平衡矩阵SVD 分解与力密度矩阵特征值分解后的正交向量，构造自应力及几何坐标，引入指定坐标值作为约束条件，结合非线性迭代算法寻找满足要求的张拉整体. 数值算例参照了经典扩展八面体张拉整体和截顶四面体张拉整体的索杆连接关系，找出了3 个满足给定坐标要求的非规则张拉整体结构，结果表明，该算法稳定性较好. 本文给出的找形算法需给出索杆拓扑连接关系，其可根据几何需求指定若干节点坐标. 运用此算法可找到一些未知的非规则张拉整体构型，或者满足特定几何外形的自平衡张力结构，还可应用于诸如自由曲面张拉整体结构的找形，对深入研究新型张力结构的形态及受力性能等有借鉴意义.

/References:

［1］Motro R. Tensegrity Structural Systems for the Future［M］. London (UK):Butterworth-Heinemann，2003.

［2］Skelton R E，Oliveira M C. Tensegrity Systems ［M］.New York (America)，Springer，2009.

［3］Tibert G，Pellegrino S. Review of form-finding methods for tensegrity structures ［J］. International Journal of Space Structures，2003，18(4):209-223.

［4］Zhang L，Maurin B，Motro R. Form-finding of nonregular tensegrity systems ［J］. Journal of Structural Engineering，ASCE，2006，132(9):1435-1440.

［5］Zhang J Y，Ohsaki M，Kanno Y. A direct approach to the design of geometry and forces of tensegrity systems ［J］.International Journal of Solids and Structures，2006，43(7/8):2260-2278.

［6］Estrada G G，Bungartz H J，Mohrdieck C. Numerical form finding of tensegrity structure ［J］. International Journal of Solids and Structures，2006，43(22/23):6855-6868.

［7］Tran H C，Lee J. Advanced form finding of tensegrity［J］. Computers and Structures，2009，88(3/4):236-247.

［8］PAN Chang-cheng，XU Chen，LI Guo. Differential evolutionary strategies for global optimization ［J］. Journal of Shenzhen University Science and Engineering，2008，25(2):211-215. (in Chinese)潘长城，徐 晨，李国解. 全局优化问题的差分进化策略［J］. 深圳大学学报理工版，2008，25(2):211-215.

［9］Paul C，Lipson H，Cuevas F V. Evolutionary form-forming of tensegrity structures ［C］// Proceedings of the 2005 Genetic and Evolutionary Computation. Washington (America):ACM Press，2005:3-10.

［10］Rieffel J，Cuevas F V，Lipson H. Automated discovery and optimization of large irregular tensegrity structures［J］. Computers and Structures，2009，87(5/6):368-379.

［11］Xu X，Luo Y. Force finding of tensegrity system using simulated anneling algorithm ［J］. Journal of Structural Engineering，ASCE，2010，136(8):1027-1031.

［12］Li Y，Feng X Q，Cao Y P，et al. A Monte Carlo formfinding method for large scale regular and irregular tensegrity structures ［J］. International Journal of Solids and Structures，2010，47(14/15):1888-1898.

［13］Juan S H，Tur J M M. Tensegrity frameworks:static analysis review ［J］. Mechanism and Machine Theory，2008，43(7):859-881.

［14］Pellegrino S，Calliadine C R. Matrix analysis of statically and kinematically indeterminate frameworks ［J］. International Journal of Solids and Structures，1986，22(4):409-428.

［15］Pellegrino S. Analysis of pre-stressed mechanisms ［J］.International Journal of Solids and Structures，1990，26(12):1329-1350.