马文静

(中铁工程设计咨询集团有限公司，北京 100055)

1 概述

列车行车对铁路曲线的圆顺性有着较高的要求，特别是行车速度较快时，不圆顺的铁路曲线将造成行车质量下滑，降低乘坐舒适性，增加轮轨磨耗等一系列问题，严重的还会影响到行车安全。因此，铁路曲线的圆顺性管理从来都是铁路运营管理的一项重要内容。曲线正矢是评价曲线是否圆顺的量化指标，在实际工作场合被广泛应用，针对不同的曲线半径有着非常细致的具体规定［1］。传统的铁路曲线正矢管理常以渐伸线原理为计算基础，以10m或20m弦长测量为实施手段，具有计算比较简单，易于手工计算的优点［2－3］。然而，随着铁路轨道测量方法的进步，偏角法、矢距法等传统曲线测量方法让位于轨道坐标测量法，因此需要一种基于轨道坐标、稳定可靠且能计算任意弦长的曲线正矢计算方法，实现轨道测量的内外业一体化。

2 曲线正矢计算的严密模型

铁路线路的线形由直线、缓和曲线、圆曲线三种要素构成，当计算正矢的弦线的两端都处于同一种线形时，则分析起来较为简单:直线上的正矢为零;圆曲线上的正矢为一常数，且正矢值是圆曲线半径及弦长的函数;缓和曲线上的正矢为渐变量，其值跟弦线在缓和曲线上所处的位置有关，且也存在以渐伸线原理为基础的简单公式用于计算。但是当弦线两端跨越不同的线形时，情况则较为复杂。为了将上述所有情况进行统一考虑，有必要建立适应各种情况的曲线正矢计算的严密数学模型。

图1 曲线正矢示意

在给定弦长S的情况下，求曲线上P点的正矢，则其几何关系如图1所示。

弦线的两端点P1及P2在曲线上，弦线的中点P0与P的连线垂直于弦线，且P1与P2之间的距离为S，则P－P0的长度即为要求的正矢。假设已知P点的坐标及里程分别为(XP，YP)及 LP，P0、P1、P2三点的坐标分别为(X0，Y0)、(X1，Y1)及(X2，Y2)，则有如下数学关系

式(1)中，f1及f2分别表示P1及P2所处曲线的函数关系，当P1及P2处于同一段曲线时，f1与f2相同，当P1及P2处于不同曲线时，f1与f2不同，由此建立起适用于所有情况的正矢计算模型。需要引起注意的是，式(1)是基于大地坐标系建立的方程组，而缓和曲线通常是基于独立坐标系并以参数方程［4］的形式给出，因此还需要针对缓和曲线建立独立坐标系到大地坐标间的转换关系。

式(2)为缓和曲线的参数方程形式，(x，y)表示独立坐标系下缓和曲线上某点的坐标，设(X，Y)是该点在大地坐标系下的坐标，则两者之间可建立如下的转换关系［5］

式(3)中ΔX、ΔY为平移参数，也即为缓和曲线起点在大地坐标系中的坐标，ε为旋转角，可根据已知的线路设计平曲线参数求得，由于缓和曲线独立坐标系与大地坐标系的尺度相同，因此转换关系中不存在尺度因子。

在建立曲线正矢的数学模型后，剩下的工作即为解算由式(1)～(3)组成的方程组。仔细观测上述方程组可知，未知数实际上只有四个，分别是P1及P2的大地坐标。式(1)本质上为包含四个未知数的高次多元非线性方程组，可采用全微分线性化降次并组成线形方程组的方法求解［6］，其解算步骤如下:

①以P点的里程LP为中心，结合线路设计曲线，分别判断LP－S/2及LP+S/2里程处于的曲线线形，从而确定f1及f2的表达形式;同时计算LP－S/2及LP+S/2里程处的线路大地坐标，作为弦线端点P1及P2的近似坐标。

②以P1及P2的大地坐标为未知参数，对式(1)进行全微分线性化并组成误差方程组。在缓和曲线段当顾及到式(2)及式(3)的情况下，方程组将变得较为复杂，使得人工进行线性化工作非常困难，此时可采用matlab符号计算完成本步骤。

③以步骤1求得的P1及P2的坐标为近似值，带入步骤2求得的误差方程组，解线性方程组。由于存在四个相互独立的条件，因此刚好可以解除四个未知数。将求得的结果作为输入值再次带入误差方程组进行计算，直到两次结果之差满足事先给定的阈值，则结束迭代计算过程。

通过上述步骤解出P1及P2的坐标后，即可采用简单的的线段分中公式求得P0的坐标，进而采用距离公式求得P－P0的长度，也即正矢值。

3 曲线正矢计算新方法

上述曲线正矢计算的严密模型虽然能够用于求解任意弦长的正矢值，然而其计算过程太过复杂繁琐，在某些情况甚至会发生迭代计算不收敛的情形，严重影响计算机自动化解算正矢的稳定性与可靠性，因此有必要发展一种数值计算稳定且计算精度满足要求的新方法。分析正矢计算严密模型的解算步骤可知，在迭代计算过程中需要用到弦线两端点的近似坐标作为初值，也即在迭代计算之前，已经获得了一条近似的弦线。考虑到给定的弦长通常远小于设计曲线半径，因此可以通过逐步逼近弦长的方式来解算弦线的两端点坐标，具体步骤如下:

①以P点的里程LP为中心，结合线路设计曲线，分别计算LP－S/2及LP+S/2里程处的端点P'1及P'2的线路大地坐标，作为弦线端点P1及P2的近似坐标。根据里程求坐标，需要区分里程点处于直线、缓和曲线、圆曲线三种情况，其中直线及圆曲线两种情况可直接在大地坐标系下依据相应的直线方程及圆方程求解，缓和曲线的情况需要借助式(2)及式(3)，先求得独立坐标系下的坐标，再通过坐标转换来完成。

②计算P'1及P'2两点间的距离S'，计算S'与给定弦长S的差值，并对第一步中用于计算近似端点坐标的里程进行修正，修正按照下式进行

根据式(4)中的L'1及L'2，重新计算弦线近似端点P'1及P'2的大地坐标，然后再次计算近似弦长及其与给定弦长S的差值，如果差值大于某一给定的阈值，则重复上述的里程修正及坐标计算过程，直到计算弦长与给定弦长的差值小于阈值，则结束迭代过程。

③由已知弦线的两端点坐标，计算该弦线的中点坐标，然后应用距离公式计算中点坐标与P点的距离，该距离即为正矢值。

由上述计算步骤可见，正矢计算新方法完全基于坐标建模，不涉及渐伸线等复杂概念，以弦线长度作为逼近准则，能够实现任意弦长的正矢值计算，没有复杂的计算过程，数值计算稳定可靠，在应用计算机进行正矢的自动化计算过程中具有显著优势。

4 算例分析

为验证本文提出的正矢计算新方法，选取某客运专线右线的一段设计平曲线数据进行分析。该段数据共包含四条曲线，曲线总长约8 315m，曲线半径各不相同，其中左偏曲线两条，右偏曲线两条，具体情况如表1所示。

表1 试验段曲线情况统计 m

基于上述数据，以300m为弦长，以2.5m为里程，以1 mm为弦长逼近阈值，采用新方法从每条曲线的起点开始逐点计算正矢值。经计算得到的弦线长度与给定弦长的差值及θ角(见图1)与π/2的差值的分布情况如图2所示。

图2 新方法所得之弦长差值及角度差值的分布如

其中Δθ按下式计算:

图2中数据按照表1给定的顺序排列。由“逼近弦长与给定弦长的差值”可知，在圆曲线段，弦长的逼近效果非常好，且曲线半径越大，逼近效果越好(如第四条圆曲线所示之1000～1 500点之间)，在400点位置附近有一个凸起，这是由于第二条曲线的圆曲线部分太短且不足300m，导致弦线至少有一段总是处于缓和曲线上，从而对逼近效果造成了影响;另一方面，在三次迭代以内，即使是缓和曲线段的弦线也能将长度差值控制在给定阈值1 mm以内，即图中所示的尖峰部分。同时，由“弦长逼近方法的角度差值”可知，缓和曲线段的θ角与π/2存在差异，且曲线半径越小，差异越大(如第一条曲线所示之50点及250点附近，角度差值达到最大约0.33°);在波谷所示之圆曲线段，θ角则与π/2非常接近，但是从总体上看，Δθ的值并不大，这表明弦线与正式的垂直关系良好。

同时，按照正式计算的严密模型，解算相同里程点处的正矢，得到的正矢值及两种方法所得正矢值的差值的分布情况如图3所示。

图3 300m弦正矢及两种方法正矢差值分布

由图3之“300m弦曲线正矢”可知，随着半径的增大，每条曲线的正矢最大值逐步减小，且对每一条曲线而言，正矢值从缓和曲线起点开始逐步增加，在圆曲线段达到最大值且保持为一个常数，然后经由缓和曲线段逐步减小，因此从图中可明显看出四条曲线的正矢值的分布情况;“两种算法所得正矢值之差”则表明了严密方法与新方法所求得的正矢值的差异，从分布看这种差异非常小，最大值也仅为0.5 mm左右，而相对于约8m的正矢值，相对误差完全可以忽略不计，且这种差异还会随着曲线半径的增大而急剧减小。

经上述分析可见，在不同的曲线半径特别是小曲线半径的情况下，采用新方法计算得到的300m弦长正矢值，与采用严密方法得到的正矢值间不存在显著差异，从应用的角度看可以视为等同;且弦长逼近的精度良好，正矢与弦线的垂直关系也良好，表明由新方法得到的弦线位置也是正确的。另一方面，文中仅就300m弦长的情况进行了数值分析，对于弦长小于300m的情况，两种方法间的数值差异将会更小，因此不再赘述。

5 结束语

在分析了计算曲线正矢的严密模型的基础上，提出了一种基于弦长逼近的曲线正矢计算新方法，并通过数值分析表明，两种方法的数值计算结果从应用的角度看不存在显著差异，可以认为是一致的。另一方面，新方法模型简单，计算简便，数值计算的稳定性及可靠性均较严密模型显著提高，非常适合计算机自动化处理。在铁路建设及运营管理中，轨道的平顺性管理是非常重要的一环，而曲线的任意弦长正矢计算则是平顺性管理的首要任务与基础。

［1］铁运［2006］146号 铁路线路修理规则［S］．北京:中国铁道出版社，2006

［2］铁道部第二勘察设计院．铁路测量手册［M］．北京:中国铁道出版社，1998

［3］廉永胜．曲线正矢、负矢的计算［J］．通化师院学报(自然科学)，1997(4):32－36

［4］王兆祥．铁道工程测量［M］．北京:中国铁道出版社，1998

［5］张正禄．工程测量学［M］．武汉:武汉大学出版社，2005

［6］朱方生，李大美，李素贞．计算方法［M］．武汉:武汉大学出版社，2003