王卫华，樊红莉

（湖北汽车工业学院 电气与信息工程学院，湖北十堰442002）

1962年Gallager首次提出了LDPC（Low Density Parity Check）码[1]，这是一种具有稀疏校验矩阵的分组码，其性能非常接近Shannon极限[2]，具有超强的纠错抗干扰能力。由于其良好特性,LDPC码成为差错编码领域里的研究热点。IEEE802.lln[3]，IEEE802.l6e[4]，DVB-T2[5]，CMMB（China Mobile Multimedia Broadcasting）[6]，CDTTB（Chinese Digital Terrestrial Television Broadcasting）[7]等众多标准都开始采用LDPC码作为信道编码方案。

LDPC码离广泛应用有一定的差距，阻碍其发展的难点在于校验矩阵的设计。上述的诸多标准没有校验矩阵的构造思路，仅仅只有校验矩阵的具体数值，对LDPC码的发展非常不利。文献[8-10]介绍的几种LDPC编码构造方法都能使校验矩阵具有满秩特点，但是都有较多缺点，比如LDPC码的高斯消元法编码，计算复杂度较高，并且变换后的矩阵不具有稀疏特性；基于近似下三角矩阵的有效编码方法，也是要经过非常复杂的矩阵处理，不利于构造超长码长的LDPC好码；构造半随机校验矩阵的编码方法，虽然方法简单，也利于硬件实现，但是存在列重为1的列，这对迭代译码过程非常不利，有可能会产生误码平台；至于具有循环码特性的LDPC码的编码方法，其构成的通信系统性能远低于随机构造的系统性能。鉴于此，本文在Gal-lager的构造方法[1]基础上提出了一种新的具有满秩特点的校验矩阵构造方法。

1 LDPC码的校验矩阵构造方法

LDPC码是线性分组码的一员，它的名字来源于具有稀疏特点的校验矩阵，即校验矩阵中仅有少量的1，大部分位置上为0，如图1所示。

图1 LDPC码的校验矩阵

Galager最早给出了LDPC码的定义，它的校验矩阵H满足下面3个条件[1]∶1）H的每行有ρ个“1”；2）H的每列有λ个“1”，λ≥3；3）与码长m和H矩阵的行数w相比，ρ和λ都很小。

通常用F（m，dz，ds）来表示LDPC码，m代表该码的长度。编码中的所有比特位数均参与检验dz个校验等式，而每个校验等式均有ds个不同的比特位包含的码字组成。其中的校验等式数为

编码效率为

式（2）成立条件为校验矩阵是满秩矩阵。

根据线性分组码的特性，域V中m×k维的P能由（m-k）×m维的校验矩阵H表示：

Gallager利用简单的矩阵任意置换和重联来构成校验矩阵，即由固定的方法构造规则矩阵（比如单位矩阵），将该矩阵的全部列做任意的排列和组合，形成一系列新的规则矩阵，最后由这些规则子矩阵联合成所需要的校验矩阵。校验矩阵H的样式如式（4）所示。

2 满秩的校验矩阵算法描述

1）初始化矩阵H的行列常数n和k；

2）生成一个（n-k）行和n列的矩阵，并初始化值为全零；

3）使每列随机产生3个1；即列重为3；

4）求出每行1的最多个数，即行重的最大值；

5）尝试在列上分散1的位置，使行重分布尽量均匀；如果某行行重大于行重的最大值，则进行随机选择某一该行上为1的列来处理，将改行上的1分散到其他行上；

6）尝试消除4环，尽量使每2列之间重叠‘1’的个数不大于1；这样构造的矩阵由于每2列之间重叠“1”的个数不大于1；

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7）假定 i初始值等于（n-k+1）；如果 i等于（n+1），则退出程序；

8）依次判断矩阵H2的主对角线上的值是否为1；如果等于1，程序直接跳到第11）步；

9）如果不等于1，进行以下操作：循环扫描该值y（假设该行参数为k1）对应列下面的所有元素，遇到1停止，记录此时对应的行数为k2；如果扫描到最后一行都没有碰到1，则将y强行赋1，同时i自动加1，然后转到第7）步；

10）交换H矩阵中k1和k2的所有值；

11）i＝i+1，转到第7）步。

算法中的核心部分是构造校验矩阵H中的H2，使方阵的对角线全部变换成1，也就是第7）步到第11）步，该算法在MATLAB中运行效果良好，生成的校验矩阵H绝大部分满足满秩条件。基于这个原因，每生成一个矩阵，必须利用Simulink提供的“fec.ldpcenc”函数进行判断，如果判断出子矩阵不可逆，必须重新运行上面的程序，随机生成新的校验矩阵，直到生成的矩阵满足子矩阵可逆条件为止。经过大量的实验证明，计算机重复寻找的次数不会超过10次。

3 仿真模型及性能分析

为了验证新的算法构造出的LDPC码性能，根据数字通信系统的基本工作原理，构造出图2的LDPC编解码系统仿真模型。

图2 LDPC编解码系统仿真模型

图2中的信源为二进制数据比特流，经过LDPC纠错编码和调制映射后通过AWGN信道；接收端进行调制映射和LDPC译码，信宿输出二进制比特流。其中的误码率检测模块对该系统进行误码率统计。对应的Simulink仿真系统如图3所示。

图3 LDPC系统Simulink仿真图

3.1 不同校验矩阵构造方法对应的LDPC系统性能

为了比较新校验矩阵构造方法和Galager校验矩阵构造方法对应的LDPC码性能，利用Galager的方法构造了码率为1/2，码长为2000的LDPC码。图4是两者比较的性能仿真图形。从图4中可以看出，新的校验矩阵构造出的LDPC码系统性能优于Galager构造的LDPC码系统性能。如SNR等于1.6dB情况下，本文提出的新的校验矩阵构造的LDPC码系统BER比Galager随机构造的LDPC码系统BER下降约0.6dB。

图4 不同校验矩阵对应的LDPC系统仿真图形

3.2 不同码长对应的LDPC系统性能

研究不同码长的LDPC码对系统性能的影响。图5是在码率为1/2的情况下，码长分别为500、1000和2000时系统性能的仿真结果，可以看出，在信道信噪比相同的情况下，随着LDPC码长的增长，系统的BER越来越小。如SNR为1.8dB时，码长为2000的LDPC码较码长为1000的LDPC码的性能要好大约1dB，而码长为2000的LDPC码较码长为500的LDPC码的性能要好大约1.5dB。

图5 不同码长的系统性能曲线

3.3 不同码率对应的LDPC系统性能

对于LDPC码来说，码率等于信息位与码长的比值。码率越低，说明有用的信息比特越少，同时用于校验的比特越多。

图6给出了码长为2000时采用不同码率的系统性能曲线。从图6中可以看出，在SNR等于1.5dB时，码率为1/2的LDPC码较码率为3/4的LDPC码的性能要好大约1.1dB。

图6 不同码率的系统性能曲线

3.4 不同迭代次数对应的LDPC系统性能

LDPC译码采用了外信息传递的处理方法，通过迭代，后一步可以充分利用上一步得到的外信息来不断提高译码的可靠性。随着迭代次数的增加，译码性能会越来越好。

图7是码长为2000的LDPC码在不同迭代次数下的译码性能曲线，它清楚地反映了迭代次数对译码性能的影响。如SNR等于1.8dB情况下，迭代10次时的BER比迭代20次后的BER接近下降了约0.6dB；而迭代30次较迭代10次时的BER下降了1.2dB。

4 结 论

图7 不同迭代次数对应的系统性能曲线

本文提出了一种新的具有满秩特点的校验矩阵构造算法，结合Simulink进行了系统级仿真，对不同的校验矩阵、码长、码率、迭代次数对应的LDPC编码分别进行分析，证明了该算法的科学性。通过对比表明，新的校验矩阵构造出的LDPC码系统性能优于Galager构造的LDPC码系统性能；LDPC码的误码性能短码劣于长码；LDPC码的码率越高性能越低；LDPC译码增加迭代次数后性能提升。该算法对应用越来越广泛的LDPC编码技术研究有一定的参考价值。

[1]Gallager.R.G.Low-Density Parity-Check Codes[D].IRE Trans on Information Theory，1962，8（3）：208-220.

[2]D.J.MacKay，R.M.Neal.Near Shannon limit performance of lowdensity Paritycheck codes[J].IEEE Transactions on Communications letters，1996，32（8）：1645-1646.

[3]Draft Standard for local and metropolitan area networks– specific requirements– Part 11∶Wireless LAN Medium Access Control（MAC）and Physical Layer（PHY）specifications[S].IEEE P802.ll/D2.00，February 2007.

[4]IEEE Standard for LAN/MAN part16∶Air Interface for Fixed and Mobile Broadband Wireless Access Systems[S].IEEE Std 802.16e-2005 and IEEE Std 802.16-2004/Cor 1-2005（Amendment and Corrigendum to IEEE Std 802.16-2004），February 2006.

[5]Draft ETSI EN 302 755 Vl.1.1（2008-04）.frame structure channele coding and modulation for a second generation digital terrestrial television broadcasting system（DVB-T2）[S].

[6]GY/T 220.1-2006，CMMB广播信道帧结构、信道编码和调制[S].

[7]GB20600-2006，数字电视地面广播传输系统帧结构、信道编码和调制[S].

[8]T.J.Richardson，R.Urbanke.Efficient encoding of low density parity check codes[J].IEEE Trans On Inform Theory，2001，47（2）：638-656.

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