丘 嵘，王春雷

(1.广东科学技术职业学院，广东广州510640;2.杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018)

0 引言

伪随机序列在数字通信、密码系统和计算机等领域有着广泛的应用。混沌具有类随机和连续宽带功率谱特性，混沌与传统密码学之间存在着一种自然的联系，且可以复制、控制和同步。因此，混沌可作为伪随机序列发生器的一种新型随机信号源，为伪随机序列发生器的设计提供一种新的途径和方法。虽然目前已出现混沌伪随机序列的研究［1－5］，但很多研究还停留在理论分析或仿真分析上，对序列的随机性能更缺乏符合国际标准的测试与分析。本文提出了一个新的混沌系统，在对该系统进行基本动力学分析的基础上，基于该混沌系统和FPGA设计了一个混沌伪随机序列发生器，对序列的随机性进行了美国国家标准与技术研究院(National Institute of Standards and Technology)标准［6］下的统计测试分析，并进行了实验验证，获得了预期的结果。

1 一个新的混沌数学模型

设计了一个新的三维二次混沌系统:

式中，(x，y，z)∈R3为状态变量，(a，b，c)∈R3为参数向量，其取值要保证系统工作在混沌状态。当a=2，b=0.2，c=0.1，初始值为(2，1，1)时，通过 Matlab 中的 ODE45 函数求解式1，得到解的时域波形和相图如图1所示。系统此时是混沌的，其Lyapunov指数分别为 λ1=0.249 6，λ2=0，λ3= －1.243 2。

2 新混沌系统的基本动力学特性

平衡点是动力系统中所有状态变量不随时间变化的一种定态，令式1等号右端为零，可得系统的平衡点:

图1 混沌系统的时域波形和相平面上的轨迹图

稳定性是指系统保持原有稳定平衡状态的能力。如果一个系统属于混沌系统，则它至少有一个平衡点是不稳定的，系统的不稳定性是作为一个混沌系统的必要条件。

通过求解平衡点的方式分析系统的稳定性，必须得到系统的Jacobian矩阵:

将平衡点值系统参数值代入式3，得到平衡点处的特征方程为:

由劳斯－赫尔维茨(Routh－Hurwitz)稳定判据可知:

当Δ1，Δ2，Δ3不全为正的时候，平衡点是不稳定的，满足混沌对稳定性的要求。式5中，a0= －1，a1= －1，a2= －54/35，a3= －2.8 可得 Δ1= －1，Δ2= －44/35，Δ3=3.52。综上可知，新混沌系统在平衡点处是不稳定的，满足混沌系统对稳定性的要求。

3 基于FPGA的伪随机序列发生器的设计

设计的思路是以新的连续混沌系统为随机信号源，首先对其数学模型离散化，然后采用Matlab的Simulink中的DSPBuilder库来设计实现与离散模型对应的数字电路而生成一个Model文件，通过Simulink中提供的“Signal Compiler”模块将Matlab中设计生成的Model文件自动转化成VHDL语言，最后可利用QuartusII来生成相应的工程，设计输入、综合、适配和仿真后下载到FPGA上运行设计的数字电路。

为提高运算速率，选取欧拉算法把连续的非线性微分方程离散化:

式中，i=1，2，3，… ，N，由式6可得到一个近似的迭代循环体:

根据式7，可得到混沌系统的一种循环迭代形式:

当 足够小的时候，经过欧拉算法离散化后的式8具有与式1所示的连续系统相同的动力学特性，此处选择 =0.004。

对式8进行迭代求解，迭代值xn随时间混沌地变化，因此可抽取迭代过程中的的某一位构成一个二值数字序列。当然也可以同时抽取多位构成二值序列，其显著优点之一是能提高二值序列的码率。本文选择对每次迭代值抽取一位生成伪随机序列。

根据以上的离散量化算法并以FPGA为数字平台设计了一个伪随机序列发生器。在FPGA上利用DSP/Builder库设计和实现了式8的一种混沌数字电路，如图2所示。

图2 用DSP Builder库搭建的数字电路模型

利用Simulink中的“to workspace”模块对搭建的数字电路进行仿真，之后通过“Signal Compiler”模块将模型文件.mdl转化成适用于EDA工具处理的文件，在QuartusII(FPGA开发平台)中打开“Signal-Compiler”转换后的工程，然后按照FPGA开发的4个步骤进行操作，即设计输入、综合、适配、仿真。将适配后产生的.sof类型的文件下载到FPGA中运行，将运行产生的数据直接输出可观测到如图3(a)所示的数字伪随机序列，如果通过D/A转换后可在示波器上观察到如图3(b)所示的连续混沌信号的吸引子相图。

由图3可知，混沌系统在FPGA中产生的混沌吸引子相图与图1(b)所示的Matlab仿真图一致，证明了离散化后的数字电路仍然能够很好地保持原来混沌系统的特性。

4 结束语

为了设计新的伪随机序列发生器，以便产生计算机、通信和密码系统中所需的伪随机序列，本文提出了一个新的混沌系统。对该系统的一些基本动力学特性进行了理论和仿真分析，如耗散性、平衡点和稳定性等。以新构造的混沌系统作为随机信号源，基于FPGA设计了一个混沌伪随机序列发生器并进行了实验验证。本文提出的伪随机序列发生器的设计方法不但适用于以FPGA为平台的混沌通信和密码系统的设计，也可应用于以DSP为平台的其它数字系统之中。

图3 在示波器上观测到的数字混沌序列和模拟混沌相图

［1］ Qianying Guo，Guangyi Wang.Generation of a Chaos－ based PN Sequence and its Quality Analysis［C］.Chengdu:Proceedings of 2010 International Conference on Communications，2010:756－759.

［2］ Yue Sun，Guangyi Wang.An Image Encryption Scheme Based on Modified Logistic Map，Implementation［C］.Hangzhou:Proceedings of 2011 Fourth International Workshop on Chaos－Fractals Theories and Applications，2011:179－182.

［3］ 张波，王光义，韩春燕.基于Logistic映射PN序列的FPGA实现［J］.现代电子技术，2009，32(7):11－14.

［4］ Chunlei Wang，Guangyi Wang.ARM Realization of Storage Device Encryption Based on Chaos and AES Algorithm［C］.Hangzhou:Proceedings of2011 Fourth International Workshop on Chaos－Fractals Theories and Applications，2011:183－187.

［5］ 韩春艳，包旭雷，王光义.一种新的数字混沌密码序列及其性能分析［J］. 重庆邮电大学学报(自然科学版)，2009，22(3):334－338.

［6］ Andrew Rukhin，Juan Soto，James Nechvatal，et al.A Statistical test suite for random and pseudorandom number generators for cryptographic applications［EB/OL］.http://www.nist.gov/，2012 －01－12.