王怀光，张培林，张云强，任国全

(军械工程学院，河北 石家庄 050003)

随着图像采集和计算机技术的快速发展，图像数据广泛用于机械故障诊断和状态监测。目前故障诊断与状态监测的发展方向是智能化、系统化、网络化和高速化，如何将大量图像数据进行存储和传输成为亟待解决的“瓶颈”问题[1]。因此，为了使采集的图像能够实时连续传输，并减小数据存储空间，对图像进行数据压缩非常必要。

图像压缩的目的是通过一定的方式或手段用比原图像少的数据来代替原始图像信息。图像压缩可分为有损压缩和无损压缩两类。无损压缩利用数据的统计冗余进行压缩，可完全恢复图像而不引起任何失真，但压缩比有限。有损压缩利用人类视觉对图像中的某些频率成分不敏感的特性，允许压缩过程损失一定的信息，从而获得较大的压缩比，如离散余弦变换和小波变换等[2]。在有损压缩算法中，小波变换压缩算法效果较好，应用领域最为广泛。然而二维小波是一维小波的张量积，只有有限个方向，不能很好地表达图像中的曲线奇异性特征[3]，从而导致压缩后的图像边缘和纹理可能出现明显失真。奇异值分解(SVD)是一种简单的矩阵变换方法。文献[4]和文献[5]将SVD分别应用于储粮害虫和遥感图像压缩，取得了较好的压缩效果。SVD压缩具有图像重建误差小，无方块效应，以及计算复杂度和压缩比有较好的折中等优点。另外，图像的奇异向量构成的矩阵没有明显的曲线奇异性特征，如果进行小波变换压缩，可以避免小波变换在图像压缩方面的不足。

因此，为保证图像重建质量，同时提高图像压缩比，本文将SVD与小波变换相结合，提出一种基于奇异值分解和小波变换的图像压缩方法。首先利用SVD对图像进行初步压缩，然后对保留的奇异向量构成的矩阵通过小波变换进一步压缩，以提高图像压缩比。

1 基于奇异值分解和小波变换的图像压缩

1.1 图像奇异值分解压缩

矩阵的奇异值分解是矩阵理论的重要内容。假设矩阵Am×n∈Rm×n，Rank(A)=r，则存在两个正交阵Um×m和Vn×n，使得

(1)

式中：U和V称为核矩阵，且UUT=VVT=I；Σ=diag(λ1,λ2,…,λr)，λ1≥λ2≥…≥λr>0是A的非零奇异值。对于实矩阵A，它的奇异值分解结果具有唯一性。令U=[u1,u2,…,um]，V=[v1,v2,…,vn]，则ui和vi分别为第i个奇异值对应的左奇异向量和右奇异向量。矩阵A可进一步表示为向量积的线性组合，如公式(2)所示。由此可知，图像完全可以由它的非零奇异值及对应的奇异向量表示。

(2)

如果用矩阵的F-范数表示图像的能量，则由公式(3)可知，图像的能量可以由图像的全部非零奇异值表示。

‖A‖F=‖USVT‖F=‖U‖F‖S‖F‖VT‖F=

(3)

有研究表明，如果用前k(k

图像奇异值分解压缩的关键在于k的选择。如果k取的太大，所得到的压缩比太小；反之，图像重建质量太差。本文从能量的角度自适应地选择参数k的大小，即通过设定能量比阈值，使算法自适应地选取占图像总能量一定比例的奇异值重建原始图像。

1.2 图像小波变换压缩

小波变换具有多尺度分析能力，可以将图像分解到不同分辨率上进行处理。图像经小波变换后，每一分辨率下的小波系数均由一个低频子代(LL)和水平(LH)、垂直(HL)和对角(HH)3个方向的高频子代组成。小波分解只对低频子代进行再分解而保持高频子代不变，因此图像经过J层小波分解后，会产生3J+1个子代，不同子代表示图像不同频率信息，如图2(a)所示。

图像进行小波变换后，并没有实现图像的压缩，而只是对整个图像的信息进行重新分配。如图2(b)和(c)所示，图像低频子代包含了图像大部分信息，因此，一幅图像最主要的信息是低频信息；图像高频子代仅包含图像少量信息，且大部分系数都接近0。基于小波变换的图像压缩充分利用这一变换特性，将输入的原始图像进行小波变换，保持低频系数不变，并对各分辨率下的高频系数都进行阈值量化处理，将绝对值低于阈值的高频系数置零，使保留下来的低频系数和少量高频系数不但包含了原始图像中的主要信息，而且大大减少了存储空间，从而实现图像信息的有效压缩[7]。

1.3 基于SVD和小波变换的图像压缩算法

为了确保压缩后的图像质量，同时提高压缩比。本文结合图像奇异值分解和小波变换，对图像进行两级压缩，具体压缩算法如图3所示。

首先对图像进行奇异值分解，得到图像的左奇异向量矩阵U、右奇异向量矩阵V和奇异值矩阵S。通过设定能量比阈值，自适应地选择k个较大的奇异值，而舍弃图像其余奇异值，实现图像的第1级压缩。图像第1级压缩之后，数据变为k个奇异值和2k个奇异向量。然后，将k个左奇异向量和k个右奇异向量分别看作两个图像矩阵，并进行小波变换。保持低频系数不变，通过阈值量化的方法对各分辨率下的高频系数进行处理，将绝对值低于阈值的高频系数置零，实现图像的进一步压缩。编码方法采用采用熵编码中应用效果较好的的Hufman编码方法[2]。

基于奇异值分解和小波变换的图像数据重建过程如图4所示，在对压缩结果进行Hufman解码和小波逆变换之后，利用公式即可获得重建后的图像。

(4)

2 试验与结果分析

为验证本文图像压缩算法的有效性，选择采集的某型火炮炮膛疵病图像进行图像压缩试验，并引入图像奇异值分解压缩方法和小波压缩方法作为对比试验。试验中选择“db4”小波对图像进行3层分解，小波高频子代系数采用全局硬阈值进行量化处理[8]。由于图像的能量主要集中在少数较大的奇异值上，兼顾图像重建质量和压缩比，选择能量比阈值为99.9%。

试验通过重建图像的视觉效果和量化评价指标两个方面对图像压缩算法进行比较。在量化评价方面，选择图像压缩比CR、压缩编码时间T、Erms均方根误差和峰值性噪比PSNR4个评价标准。其中Erms和PSNR定义如下:

(5)

(6)

图5和图6分别为脱落疵病图像和裂纹疵病图像压缩后的重建结果。表1和表2给出了不同压缩方法的量化评价指标，其中表1为脱落疵病图像的结果，表2为裂纹疵病图像的结果。从视觉角度观察，3种不同压缩算法都能够很好地重建原始图像，图像重建质量差别不大。但是由表1和表2看出，奇异值分解算法速度最快，小波变换算法的图像重建质量最好，本文算法的压缩比最高。由于奇异值分解压缩和小波变换压缩算法都属于有损压缩，本文压缩算法是两级压缩，所以图像重建质量有所降低，但是本文算法在图像重建质量稍有下降的情况下，显著提高了图像压缩比。

表1 脱落疵病图像不同压缩算法性能比较

表2 裂纹疵病图像不同压缩算法性能比较

为进一步比较不同压缩算法的性能，试验中对10幅炮膛疵病图像进行压缩，通过改变能量比阈值和小波系数量化阈值得到不同压缩比条件下的重建图像，计算图像的均方根误差Erms和峰值信噪比PSNR，平均结果如图7和图8所示。从图7和图8可以看出，在相同压缩比的条件下，奇异值分解算法的Erms最大，而PSNR最小，图像重建质量最差，其次是小波变换压缩算法，本文设计的压缩算法具有较小的Erms和较大的PSNR值，图像重建质量最好。

综上所述，本文有效结合了奇异值分解算法和小波变换算法两者的优点，在保证图像重建质量的条件下，可有效提高图像压缩比和压缩编码时间。

3 结 论

本文在研究图像奇异值分解压缩和小波变换压缩的基础上，将二者有机结合，提出了基于奇异值分解和小波变换的图像压缩方法。该方法结合了奇异值分解和小波变换的优点，在保证图像重建质量情况下，能有效提高图像压缩比，并节省了压缩编码时间。如何更好地选择图像能量比阈值和小波变换系数量化阈值，从而改善图像重建质量的同时提高图像压缩效率，将是进一步研究的重点。

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