李建平，王 霞

(河南工程学院 数理科学系，河南 郑州 451191)

混沌系统在很多领域都具有广泛的应用，比如通信、信息处理、计算机图像处理、图像数据加密和信号检测等.目前，非线性混沌系统的奇怪吸引子的研究是一个热门课题，受到了越来越多的专家和学者的关注，比如Chen系统[1]、Lorenz系统[2]、Lü系统[3]与Liu系统[4]等.文献[5]给出了一类具有三次项的混沌吸引子，文献[6]和文献[7]介绍了该系统混沌行为的存在性并给出了该系统的定性特征，但对这类系统产生混沌的机制并没有详细给出，本研究将利用待定系数法和Si′lnikov定理解析地给出此类系统产生混沌的机制.

1 平衡点分析

考虑如下具有三次项的混沌吸引子：

(1)

其中，x，y，z是状态变量，a为实参数.通过简单的计算可知，系统只有一个平衡点O(0，0，0)，系统(1)在平衡点O(0，0，0)处的Jacobi矩阵为：

其相关的特征方程为：

F(λ)=λ3+aλ2+1.

(2)

(3)

(4)

因此，Δ>0和(4)保证平衡点O(0，0，0)是一个鞍焦点.

2 混沌运动的分析

考虑如下的三维自治系统：

(5)

其中，向量函数f(x)：R3→R3∈Cr(r≥2).Si′lnikov 同宿轨道和Si′lnikov混沌的存在性如定理1.

定理1[8]假设系统(5)的平衡点xe是一鞍焦点，系统的Jacobi矩阵在该平衡点处的特征值为γ和ρ±iω，满足如下的Si′lnikov不等式：

ω≠0，γρ<0， |γ|>|ρ|>0，

并假设存在连结xe到其自身的同宿轨道，则

(1) 存在定义在同宿轨邻域内的可数Smale马蹄；

(2) 对f任意充分小的C1扰动g，扰动系统

(6)

至少存在有限的定义在同宿轨附近的Smale马蹄；

(3) 原系统(5)和扰动系统(6)均具有Smale马蹄意义下的混沌.

将系统(1)中前两个方程代入第三个方程，得：

(7)

如果x(t)找到的话，y(t)和z(t)也可以被x(t)所决定.因此，寻求系统(1)的同宿轨可……