刘晓伟，何广平

(1 中国航天空气动力技术研究院，北京100074;2．北方工业大学，北京100144)

0 引 言

作为典型的微机械动力元件，超微电机一直是微机电系统(以下简称MEMS)研究的热点，在一定程度上已成为MEMS 发展水平的重要标志［1］。自从1987 年Trimmer 等人设计并研制出静电型超微电机以来，相继出现了顶驱动式、侧驱动式、摆动式、中心销式、法兰盘式、谐波式等多种静电型超微电机。静电型超微电机按照运行原理不同可分为以下两种:一种是利用介电弛豫原理，另一种是利用电容可变原理［2］。

可变电容静电型超微电机是一类最早出现的动态MEMS 器件。由于静电力十分微小，且通过实验发现这种微型电机的动态性能十分有限［3］，关于静电型超微电机的优化设计问题很早就被注意到［4］，并在近年来得到部分学者的关注［5－6］。本文给出了侧面驱动可变电容静电型超微电机的一种优化设计算法，并根据该方法对优化后的超微电机性能进行了实验分析。

1 侧面驱动可变电容静电型超微电机数学模型

侧面驱动可变电容式静电型超微电机的结构简图如图1 所示，它通过转子与定子间的小间隙形成的电容实现转子的驱动。当电机的定子电极数目与转子凸极数目可以整除时，这类静电电机通常称为同步静电电机;当两者不能整除时，一般称为步进式静电型超微电机。这两种静电型超微电机的驱动原理是相同的，都通过转子与定子之间电容变化引起的切向静电力来驱动转子转动。但是要实现转子的连续运转，这两类电机的控制方式是不同的。对于步进静电型超微电机，需要仔细选择定子电极的通电顺序组合;对于同步静电型超微电机，其转子转动速度与施加的电场的旋转速度相同。

图1 8 /6 超微电机结构简图

可变电容静电型超微电机中的电能可表示:

式中:C(θ)为转子与定子之间的电容;V 为转子与定子之间施加的驱动电压。根据上式，转子转矩可写为:

根据图1 所示，在微弧段dα 上，转子和定子之间的微电容:

式中:εr为相对介电常数;ε0为真空绝对介电常数，ε0= 8．85 × 10－12C2/(N·m2);h 为定子和转子片的厚度。R(α)和r(α)分别为定子和转子轮廓半径，(R，α)和(r，α)分别为定子和转子轮廓的极坐标。

设静电电机的定子电极数目为nS，转子凸极的数目为nR，定子电极和转子凸极沿圆周方向是均布的，即定子相邻电极之间的夹角为Δφ，转子相邻凸极之间的夹角为Δθ，其值分别:

对于常见的规则形状的静电电机，其定子电极和转子凸极轮廓在极坐标下可表示:

式中:λS∈(0 1)和λR∈(0 1)分别为定子电极和转子凸极的占空比。为提高静电电机的驱动力矩，一般设计

不失一般性，令θ0= 0，则:

为便于与已有研究［4－6］进行比较，这里计算定子电极数与转子凸极数之比为8 /6 的静电型超微电机在不同控制方式下的输出转矩。

表1 8 /6 静电型超微电机的基本物理参数［5］

2 可变电容静电型超微电机的驱动方法

这里对定子电极采用单相对称电极顺序通电的方式，如图2 所示，其中带阴影的定子电极为通电电压为V 电极，其它电极则为接地电极。

图2 8 /6 静电超微电机电极的控制方式

对于设计参数取(rmin，λs，λr)= (30 μm，18 /45，18 /60)时，即电机转子轮毂的半径为30 μm，定子电极和转子凸极的角度为18°，当电机各定子组分别施加控制电压时，电机转子在转动一个凸极所占的角度过程中的输出力矩曲线如图3(a)所示。当通过恰当地切换电机定子4 个电极组的通电方式，可获得如图3(b)所示的电机输出力矩曲线。

图3 单相驱动条件下且电机结构参数未优化时的输出力矩曲线

3 可变电容静电型超微电机的优化设计

选择优化设计变量:

式中:rmin为转子轮毂的半径，为保证转子的强度，一般要求rmin≥r0;λs为定子电极的占空比;λr为转子凸极的占空比。电机的重要性能指标是其输出力矩的均值和力矩的波动大小。输出力矩均值可表示:

力矩的波动系数表示:

在优化电机的结构参数中，定义优化指标:

式中:z1用于电机输出力矩优化，z2用于输出力矩波动优化，z 则用于对输出力矩的大小和力矩波动系数同时进行优化。式(14)中，λ 为加权系数，可用于将z1和z2的数值调整到同一量级，避免大量值把小量值淹没。基于式(12)～式(14)给出的指标函数，可建立优化问题的数学模型:

对于表1 中给出的电机基本参数，采用同时优化平均力矩和力矩波动系数的指标式(14)。由于式(2)和式(8)给出的电容和输出力矩公式难以得到解析表示，在以往的研究中多采用有限元分析方法［5－6］。为了避免有限元分析方法嵌入优化过程中的巨大计算量，这里采用数值积分的方法求电机转子处于任意位置时的电机电容值，然后采用差分商的方法根据式(2)求电机输出力矩。为了避免利用差分商对微分进行近似时导致获得的电机力矩不连续，采用递推滤波方法对求得的电机力矩进行滤波处理(可利用MATLAB 中的filtfilt 滤波函数)。

4 实验结果

采用该算法对设计参数进行优化后，其取值变为(rmin，λs，λr)=(21．34 μm，0．60，0．47)对应的输出力矩如图4 所示。

图4 单相驱动条件下且电机结构参数优化后的输出力矩曲线

为直观比较优化前后电机结构的变化，电机结构比较图如图5 所示。可以看出，相对较宽的定子电极和转子凸极，以及较大的转子凸极槽深，有利于改善电机输出力矩的大小和动态特征，但是在结构约束条件下，这些参数存在最优值，并不是越大越好。

图5 参数优化前后电机结构的比较

图6 优化前后电机输出力矩的比较

5 结 语

针对可变电容静电型超微电机静电力十分微小，且动态性能非常有限的问题，本文阐述了侧面驱动式可变电容静电型超微电机的数学模型，在对定子电极采用单相对称电极顺序通电的驱动方式的基础上，提出了一种静电型超微电机的优化设计方法。实验结果表明，优化后电机的输出力矩有所增大，而且波动明显减小，有利于改善电机输出功率的稳定性。

［1］ 张文明，孟光．静电微电机微转子接触动力学特性分析［J］．力学学报，2005，37(6):756－763．

［2］ 戴福彦，张卫平，陈文元，等．MEMS 微电机综述［J］．微电机，2009，42(8):61－64．

［3］ Zhang W M，Meng G，Chen D．Stability，nonlinearity and reliability of electrostatically actuated MEMS devices［J］．Sensors，2007，7:760－796．

［4］ Johansson T B，Van Dessel M，Belmans R，et al．Technique for finding the optimum geometry of electrostatic micromotors［J］．IEEE Transactions on Industry Applications，1994，30(4):912 －919．

［5］ Ketabi A，Navardi M J．Optimization of variable－capacitance micromotor using genetic algorithm［J］．Journal of Microelectromechanical Systems，2011，20(2):497－504．

［6］ Behjat V，Vahedi A．Study the influence of geometric parameters on the torque of electrostatic micromotors［J］．Electrical Engineering，2006，89:61－65．