张兆凯，唐 苗，曹东海，谢劲松

( 1．北京自动化控制设备研究所，北京100074; 2．海军驻航天科工三院军事代表室，北京100074)

0 引 言

伺服系统承载负载力矩时输出有时会有较大偏差，当负载扰动剧烈时，甚至会导致系统失稳等恶劣后果，该问题可归结为系统伺服刚度不足。本文从工程应用中的实际问题出发，引述了伺服刚度的概念，建立了电动伺服系统的模型，分析了负载作用下影响伺服系统跟踪误差和稳定性的关键因素，阐述了提高系统伺服刚度的理论本质，提出了采用陷波器进行串联校正处理，消除系统谐振、提高系统增益来提高伺服系统刚度的控制方法。仿真结果表明，陷波器能够有效抑制系统谐振，从而能够进一步提高系统增益，从而提高系统刚度。

1 电动伺服系统工程应用中的刚度问题总结

在电动伺服系统工程应用中，存在系统加负载后稳态误差增大，不能满足跟踪精度要求，如图1 所示，此时我们希望通过增大系统增益来降低系统稳态误差，但是增大系统增益后系统出现振荡，也不能满足工程应用要求，如图2 所示。这类问题发生时，通常产品已经生产完毕，通过有限的调试参数难以解决，系统控制品质大受影响，不能满足工程需求。

图1 负载作用下系统稳态误差增大示意图

图2 提高增益时系统自激振荡响应示意图

从动力学角度分析，可以将这种问题归结为伺服系统的伺服刚度不足。

2 伺服系统刚度概念

伺服刚度是指整个伺服系统表现出来的抵抗外部扰动力矩产生位移偏差的能力。对比上述问题，我们希望在外加负载作用下，系统稳定并且输出与期望值越小越好，即要求系统伺服刚度高。设外加负载力矩为Fs，由负载力矩引起的输出轴转角位置偏差为Δθ，则伺服系统的刚度Kservo定义:

式中: 当Fs为静力矩，即恒定的外加负载时，Kservo称为静刚度; 当Fs为交变力矩时，Kservo称为动刚度。

按照式( 1) 定义，Fs越大，Δθ 越小，则Kservo越大。Δθ 是系统空载和负载作用下系统稳态响应的差值，从控制理论角度看，如果在相同的负载作用下，伺服系统响应的稳态跟踪误差越小，则其Δθ 通常也会减小，则系统伺服刚度就高。

因此可以将提高系统伺服刚度的理论本质归结为: 提高伺服刚度，即是抑制系统振荡等不稳定因素，提高系统稳定裕度，减小系统在外加负载Fs作用下的稳态跟踪误差。

对于可简化为二阶系统的伺服系统来说，减小系统跟踪误差，需要提高系统增益; 然而提高系统增益，有时带来系统振荡等后果。因此，无法单纯依靠提高系统增益的方式提高系统伺服刚度。需要从系统模型入手，详细分析负载作用下系统响应特性，确定问题的关键因素，找到一个既能减小跟踪误差，又可以抑制系统振荡，提高稳定裕度的方法。

3 电动伺服系统模型建立

假设电动伺服系统位置反馈传感器安装在输出轴末端，即所有的环节都含在控制闭环内，电动伺服系统框图模型如图3 所示。

图3 电动伺服系统框图模型

图中，Uci为输入信号，TL为外加负载力矩，δ 为输出偏转角，APR 为控制器，Kpwm为功率放大倍数，La为电机电枢电感，Ra为电机电枢电阻，CT为电机力矩系数，Ce为电机反电动势系数，Kpf为位置反馈系数，Ja为电机转动惯量，i 为减速比，KL为传动机构结构柔性系数，JL为负载转动惯量。

由图3 看出，系统模型为一个二质量体扭转模型，也可作为一个双输入单输出系统，分析系统刚度，即分析外界负载力矩TL变化造成的输出偏转角δ 的变化，系统刚度越高，输出偏转角δ 受外界负载力矩TL的影响越小。

4 系统响应特性分析

4.1 常值负载作用下系统响应对比分析

以某型电动伺服系统为例，代入模型参数，进行常值负载作用下系统时域响应仿真。图4 给出了10 N·m 外部负载力矩状态下，结构柔性系数KL分别为109N·m/( °) 、107N·m/( °) 、3 × 104N·m/( °) 时系统阶跃响应仿真图。从图中看到，KL为3× 104N·m/( °) 时，系统已经振荡失稳; KL为109N·m/( °) 、107N·m/( °) 时，系统宏观响应稳态误差和响应时间均相同。

图4 恒定负载，结构柔性系数K L 变化时阶跃响应宏观对比图

图5 给出了KL为109N·m/( °) 、107N·m/( °) 系统稳态时响应曲线放大示意图。从图中看出，KL为109N·m/( °) 时，反馈振荡幅值约0．000 4 V，频率约24 600 Hz，KL为107N·m/( °) 时，反馈振荡幅值约0．000 7 V，频率约2 450 Hz，但是振荡曲线中心幅值基本相同。

图5 图4 中稳态响应局部放大图

在模型中固定KL为107N·m/( °) ，负载力矩值为10 N·m、30 N·m、50 N·m 时系统阶跃响应和稳态时响应曲线放大图如图6 和图7 所示。

图6 结构柔性系数K L 恒定，负载值变化时阶跃响应对比图

从图6 和图7 中看到，KL为107N·m/( °) 时，系统宏观上能够稳定跟踪输入阶跃信号，但是随着负载力矩增大，稳态误差加大，但响应中叠加的高频振荡幅值和频率没有改变。

图7 图6 中稳态响应局部放大图

由以上仿真可以看出，在伺服系统参数一定、响应稳定的状态下，伺服系统跟踪误差只随负载力矩大小改变，系统响应中叠加的高频振荡成份由传动机构的结构柔性决定，结构柔性不影响系统稳态误差。传动机构结构柔性小时，伺服系统可以稳定跟踪输入阶跃信号，随着负载力矩增大，系统稳态误差增大; 在相同负载力矩作用下，当结构柔性增大时，系统稳态误差不会因柔性增大而减小，根据伺服刚度定义，可以认为系统静伺服刚度不受影响; 但是伺服系统宏观出现自激振荡的风险加大，稳定裕度降低; 当结构柔性增大到一定程度，系统宏观响应上会出现自激振荡，系统不能稳定跟踪输入信号，从伺服刚度定义看，此时系统静伺服刚度为零。

4.2 交变负载作用下系统响应对比分析

在模型中施加幅值为30 N·m，频率为200 Hz的交变负载力矩，设置KL分别为109N·m/( °) 、107N·m/( °) 、105N·m/( °) ，仿真所得系统阶跃响应稳态时曲线局部放大如图8 所示。从图中看到，KL分别为109N·m/( °) 、107N·m/( °) 时，系统阶跃响应稳态时幅值波动频率与力矩交变频率相同，响应中叠加高频振荡，响应幅值波动约为0．001 5 V; 当KL为105N·m/( °) 时，系统处于谐振状态，振荡幅值约0. 01 V。

图8 交变负载，结构柔性系数K L 变化时系统阶跃响应稳态局部放大对比图

在模型中设KL为107N·m/( °) ，施加200 Hz，幅值分别为10 N·m、30 N·m、50 N·m 交变负载，系统响应如图9a 所示; 施加2 450 Hz，幅值分别为10 N·m、30 N·m、50 N·m 交变负载，系统响应如图9b 所示。

图9 结构柔性系数K L 固定，交变负载变化系统阶跃响应稳态局部放大对比图

从以上仿真结果可知，系统在不发生谐振的状态下，系统阶跃响应稳态时幅值波动只随负载幅值增大而增大，系统响应中叠加的高频振荡成份由传动机构的结构柔性决定，结构柔性不影响因负载力矩造成的响应波动幅值; 这与施加常值负载时稳态误差随负载增大而增大结论是一致的，此时可以认为系统动伺服刚度不受结构柔性影响。当系统谐振时，系统响应振荡幅值均大于稳定状态下因负载力矩引起的波动值，并且谐振状态下，施加负载力矩幅值越大，振荡幅值也越大，系统谐振为不稳定状态，因此可以认为此时系统动伺服刚度为零。

4.3 小结

综上，不论施加常值负载还是交变负载，在系统响应不发生谐振的状态下，负载大小决定了系统跟踪误差，负载越大，跟踪误差越大; 当系统发生自激振荡或谐振时，系统振荡幅值远大于稳定状态下系统因负载引起的跟踪误差。在系统稳定响应的状态下，结构柔性不影响系统的伺服刚度，但是系统一旦振荡不稳定，按照定义，系统伺服刚度就是零; 而决定系统是否发生谐振或自激振荡的一个关键因素是传动机构的结构柔性，结构柔性越大，系统振荡风险越大。

4.4 频域分析

为了进一步明确系统内部影响其稳定裕度，造成响应振荡的关键因素，对系统进行频域分析。图10 给出了KL为无穷大和KL为有限值的Bode 图对比。图11 给出了变化结构柔性系数KL大小时系统Bode 图的变化规律。

从图10 中看到，KL为有限值时，由于结构柔性的影响，使得系统高频段存在谐振峰，谐振点处相角滞后在180°左右，这意味着系统响应中存在有自激振荡情况，振荡频率约为谐振峰频率点频率。在正常情况下，我们在系统响应中看不到谐振现象是因为谐振幅值很小，在宏观上观察不到。从图11 中看到，随着KL减小，即结构柔性系数增大时，谐振频率点左移，幅值响应也逐渐增大，系统响应宏观上出现谐振的风险加大。这与上述时域分析结果一致。同时因为谐振峰的存在，如果为了减小系统跟踪误差而提高增益，则系统很容易发生振荡而不稳定。因此无法通过提高增益的方式来达到提高系统伺服刚度的目的。

5 使用陷波器提高系统刚度

从上述分析来看，无法提高系统增益来提高伺服刚度是因为系统中存在传动机构的结构柔性因素引起的谐振峰。虽然，可以通过重新改进传动机构等方式减小传动机构的结构柔性，但是有时对工程应用来说代价太高。从控制理论角度看，控制系统是一个开放的系统，我们也可以通过补偿、校正等手段削弱系统的谐振，提高系统稳定性，从而进一步提高系统增益，提高系统刚度。

在以上模型中，针对谐振点频率，在控制器APR 中设计串联陷波器如下:

所设计的陷波器增益为2，中心频率点与系统谐振频率点对应，增加陷波器后，系统Bode 图如图12 所示。50 N·m 负载作用下，系统阶跃响应如图13 所示。从图中看到，陷波器有效抑制了系统谐振峰，使系统响应稳定跟踪输入，并且陷波器增益为2，使原系统增益扩大了1 倍，系统跟踪稳态误差明显减小，系统伺服刚度得到有效提高。

6 结 语

电动伺服系统工程应用中希望伺服刚度高，从控制理论分析，问题本质就是在负载作用下保持系统稳定，减小跟踪误差。本文提出了采用陷波器抑制传动机构结构柔性带来的系统谐振峰，提高系统增益来提高系统伺服刚度的方法，仿真结果分析表明，陷波器能够有效抑制系统谐振，提高系统增益，减小跟踪误差，即有效提高了系统伺服刚度。

［1］ 张盛楠．电动伺服系统非线性建模、仿真与测试技术［D］．北京自动化控制设备研究所，2012．

［2］ 寇宝泉．交流伺服电机及其控制［M］．北京: 机械工业出版社，2008．

［3］ 郭庆鼎．现代永磁电动机交流伺服系统［M］．北京: 中国电力出版社，2006．

［4］ 刘刚．永磁无刷直流电机控制技术与应用［M］．北京: 机械工业出版社，2008．