李 静，许金刚，王勤龙

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

一类生物入侵模型的精确行波解

李 静，许金刚，王勤龙

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

研究了一类一维生物入侵模型的行波解问题。通过计算奇点量以确定系统的可积性，找到相应系统的首次积分，然后运用动力系统分支的定性理论方法，最后获得一些有界行波解显式表达式。

精确解；生物入侵模型；可积性；奇点量

近年来非线性发展方程的精确解，在解释生物种群时空动态变化规律，特别是在生物入侵现象的研究中发挥越来越重要的作用。下面，笔者将讨论S. Petrovskii等[1]所建立单生物入侵模型的精确解问题:

(1)

式中，U是虫口密度；K为环境承载量；U0为Allee效应临界值；α为种群的内禀增长率；参数A0是风或水的流速；A1是因生物学机制而导致的迁移速度。

经过无维变量替换后，模型(1)能简化为下非线性偏微分方程：

ut+(a0+a1u)ux=uxx-βu+(1+β)u2-u3

(2)

式中，β=U0K-1,a0=A0K-1(αD)-1/2,a1=2A1(αD)-1/2。但文献[1]只考虑了β>0的部分精确解问题。假设方程(2)有以下形式的行波解:

u(x,t)=u(ξ)ξ=x-ct

(3)

式中，c是波速。将式(3)代入式(2)中有：

u″(ξ)=(a0-c+a1u(ξ))u′(ξ)+βu(ξ)-(1+β)u2(ξ)+u3(ξ)

(4)

(5)

下面，笔者将通过计算奇点量以确定系统的可积性。

1 系统的可积性

显然，系统(5)有3个奇点O(0,0),O1(1,0),O2(β,0)。特别地，可以利用文献[2]所提供的计算奇点量的方法来分析原点邻域的可积性，由此有：

定理1在c=a0的条件下，当且仅当a1=0时系统(5)可积，此时它的首次积分是:

(6)

证明利用奇点量的计算结果，必要性是显而易见的；然后通过验证首次积分，即可以完成充分性证明。

考虑上述Hamilton常数在3个奇点处的取值，令：

分析C1=C2或C1=C3或C2=C3的情形，可以得到以下结论：

进一步通过分析C1≠C2或C1≠C3或C2≠C3的情形，有：

2 方程的精确解

(7)

(8)

由此,可以得到一系列行波解[3]：

(i)当β=2时:

(ii)当β=1/2时:

(iii)当β=-1时:

同时由对应的周期轨道，也可以分别获得Jacobi椭圆函数周期解:

(i)当β=2时:

(ii)当β=1/2时:

(iii)当β=-1时:

(i)当鞍点为O(0,0)，即当β>2或0<β<1/2时：

(ii)当鞍点是O1(1,0)，即当1/2<β<1或β<-1时：

(iii)当鞍点是O2(β,0)，即当-1<β<0或1<β<2时：

同时由其中所对应的周期轨道，也获得可以相应的Jacobi椭圆函数周期解：

3 结 语

笔者的研究结果是在特殊条件c=a0、a1=0下所获得的，但这些也可以显示在生物入侵传播的一些实际的模式中，如外来物种的入侵速度仅取决于风流或水流的速度A0，而不是由于生物学机制而导致迁移的情形。同时也可以看到，无论是β> 0还是β≤0始终存在着孤立波、正反扭子波、周期波这3种类型的入侵传播模式。

[1]Petrovskii S V, Li B L. An exactly solvable model of population dynamics with density-dependent migrations and the Allee effect[J].Mathematical Biosciences, 2003，186：79-91.

[2] 刘一戎，李继彬.论复自治微分系统的奇点量[J].中国科学(A)，1989(3)：245-255.

[3] Li Ji-bin, Dai Hui-hui.On the Study of Singular Nonlinear Traveling Wave Equations: Danamical System Approach[M]. Beijing: Science Press,2007.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.002

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16731409(2012)11N00403