周兰萍，夏海峰

(1.江苏省扬州中学教育集团树人学校，江苏 扬州 225000;2.江苏省扬州市邗江区公道中学，江苏 扬州 225119)

本文考虑如下线性回归模型

y=Xβ+e,E(e)=0,Cov(e)=σ2In

(1)

其中y是n×1的观测向量，X为n×p的已知设计矩阵，β为n×p未知参数向量，e为随机误差向量。并假设

Aβ=b

(2)

是一个相容线性方程组,其中A为k×p的已知矩阵,且秩为k,b为k×1维已知向量.

由于线性回归模型(1)是统计学中最重要的模型之一，所以众多的学者对其进行大量而深入的研究(如文献[1～4]) 。影响分析(即探查对估计或预测有异常大影响的数据)是回归诊断的重要内容，尽管可以使用很多种统计量来进行影响分析，但我们常常采用Cook统计量进行度量(参见文献[5-8])。本文仍采用Cook统计量对约束线性回归模型进行影响分析。

1 刀切约束最小二乘估计

用Y(i),X(i),e(i)分别表示从Y,X,e剔除第i行所得的向量或矩阵。从线性回归模型(1)剔除第i组数据后，剩余的n-1组数据的线性回归模型为

Y(i)=X(i)β+e(i),Ee(i)=0,Cov(e(i))=σ2In-1

(3)

我们知道，模型(1)在约束条件(2)下的最小二乘估计为

(4)

下面用Lagrange乘子法可以求模型(3)满足线性约束(2)的最小二乘估计。记

(5)

则线性约束(2)可以改写为

(6)

问题转化为在(6)的k个条件下，求β使Q(β)=‖y(i)-X(i)β‖2达到最小值。为此构造辅助函数

‖y(i)-X(i)β‖2+2λ′(Aβ-b)=

(y(i)-X(i)β)′(y(i)-X(i)β)+2λ′(Aβ-b)

其中λ=(λ1,…,λk)′为Langrange乘子。对函数F(β,λ)求对β0,β1,…,βp-1的偏导数,整理并令它们等于零,得到

(7)

联立(7)式和线性约束(2)式，得到λ的估计和约束最小二乘估计分别为

(8)

(9)

2 Cook统计量

(10)

证明 注意到(参见文献[9])

(11)

可以得到

(12)

其中

由(4)(9)(12)式得

(13)

其中

(14)

(15)

又容易得到(参见文献[9])

(16)

由(10)(15)(16)式即可得到定理1.至此定理证明完毕。

注2．定理1在形式上与基于其它估计的Cook距离相同(如：文献[9]基于最小二乘估计，文献[10]基于稳健估计等)，因而在一定程度上说明了我们的结论是合理的。……