吴利斌，詹 鸿

(武汉软件工程职业学院 公共课部，湖北 武汉 403205)

1 伴随矩阵的定义及其性质

定义1 设Aij为n阶矩阵

中元素aij的代数余子式，则称矩阵

为矩阵A的伴随矩阵.

定理1 设A*为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵，则有

1)AA*=A*A=|A|E，其中|A| 为矩阵A的行列式，E为n阶单位矩阵；

2) (kA)*=k-1A*，其中k为非零常数；

3) (A*)T=(AT)*，其中AT为矩阵A的转置矩阵；

4) (A*)*=|A|n-1A，其中n≥2 .

2 伴随矩阵在射影平面的射影对应中的应用

2.1 伴随矩阵在射影平面的直射(同素)对应中的应用

定义2 两平面的点之间的一一对应若保持点和直线的结合性，且使任何共线四点的交比等于其对应四点的交比，则称此一一对应为两平面点之间的射影对应.

定义3 两平面的直线之间的一一对应若保持点和直线的结合性，且使任何共点四直线的交比等于其对应四直线的交比，则称此一一对应为两平面直线之间的射影对应.

定义4 上面定义的两种射影对应都称为两平面之间的直射(同素)对应.

定义5 如果两对应平面是重合的，则上面定义的射影对应和直射(同素)对应分别为此平面上的射影变换和直射(同素)变换.

由上面的定义，易得

定理2 若在两平面π与π′内各建立射影坐标系，则平面π到π′上的点之间的射影对应为非奇线性对应

f:ρx′=Ax,ρ|A|≠0

(1)

定理3 若在两平面π与π′内各建立射影坐标系，且平面π到π′上的点之间的射影对应为(1)，则平面π′到π上的点之间的射影对应为非奇线性对应

f-1:σx=A*x′,σ|A*|≠0

(2)

证明 由于|A|≠0，则A可逆，用A的逆矩阵A-1=|A|-1A*左乘(1)式两边得ρ-1|A|x=A*x′ ，令ρ-1|A|=σ，则得f-1:σx=A*x′.由定理1可得 |A*|=|A|2，故σ|A*|=ρ-1|A||A|2=ρ-1|A|3≠0.

定理4 若在两平面π与π′内各建立射……