孙 先，杨文俊，王国栋

(长江科学院 a.研究生部;b.科研计划处，武汉 430010)

立面二维水流数学模型能给出水流运动沿水深方向变化的特征，相对于平面二维模型只能反映出河床平面上的水流地形变化［1］，对于研究宽深比较小的河道和水库中的水流物质输运有着不可比拟的优势。因其求解涉及到3种介质2个交界面，网格划分、自由水面的追踪、动水压力的求解3个问题成为了模型建立的难点。

σ坐标变换由 Phillips［2］在1957年提出，它能够很好地拟合河底地形，并随着地形和水面的变化而实时调整。通过σ坐标变换后，可以将原本不规则的计算区域变为一个固定的矩形，给网格剖分和编程都带来了方便。将笛卡尔坐标系下的立面二维水动力学控制方程转化到σ坐标系下，然后在交错网格上，采用水位函数法求解自由水面，运用有限差分法分步离散求解控制方程。最后使用模型模拟微幅波运动，通过模拟值与理论值的比较，验证模型的可靠性。

1 σ坐标系下的立面二维水动力学控制方程

基于Boussinesq假设的不可压缩牛顿流体的Navier-stokes方程，对流体运动基本方程沿横向积分平均后，可得笛卡尔坐标系下立面二维水动力运动基本方程组:

式中:u，w分别为x*方向和z*方向的流速;Pd为动水压力;ε为紊动扩散系数;ξ为自由水面;ρ为水体密度;g为重力加速度。

立面二维计算区域的σ坐标变换如图1所示。

图1 立面二维计算区域的σ坐标变换Fig.1 Transformation of coordinate σ of vertical 2-D computational domain

由以上微分关系可得，σ坐标系下法向流速为

对于笛卡尔坐标系下连续性方程通过以上坐标变换得