刘 群

(河西学院 数学与统计学院，甘肃 张掖 734000)

一类双圈图拉普拉斯谱刻画

刘 群

(河西学院 数学与统计学院，甘肃 张掖 734000)

称图是由谱确定的，如果没有非同构的图具有相同的谱。用Cq标记长度为q的圈。圈图Cq的一个顶点与路图Pr的一个悬挂点相连，圈图Cq的一个顶点与Pr的另一个悬挂点相连，所得的图称为G(Cq，Cq，Pr)。本文将证明图 G(Cq，Cq，Pr)由它的 Laplacian谱确定。

图的谱;共谱图;特征值

0 引言

设图 G=(V(G)，E(G))是点集为 V(G)={v1，v2，v3，...，vn}，边集为 E(G)的图。本文涉及到所有图均为简单的无向图。设A(G)图G的(0，1)－邻接矩阵，dk是点vk的度数。称矩阵L(G)=D(G)－A(G)为图G的Laplacian矩阵，其中D(G)是对角元素为{d1，d2，...，dn}的n×n阶对角矩阵，记多项式P(L(G))=det(μI－L(G))为图G 的Laplacian特征多项式，I为单位矩阵。令 P(L(G))=q0μn+q1μn－1+…… +qn，其中q0，q1，...，qn是多项式的系数。因为矩阵L(G)是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数。设μ1≥μ2≥……≥μn(=0)是图的Laplacian特征值。图G的Laplacian谱是由图G的Laplacian特征值(带重数)组成的。如果两个图具有相同的谱，那么称这两个图是共谱的很明显，如果两个图是共谱的，那么它们具有相同的点数。对于图G，如果没有非同构的图与它相关于Laplacian共谱，则称图G是由Laplacian谱确定的。

在图谱理论中，哪些图是由图谱确定的这一问题似乎是一个比较难的问题。

截止目前，只有少数图被证明有它的谱确定。本文将讨论G(Cq，Cq，Pr)的拉普拉斯谱确定问题，其中G(Cq，Cq，Pr)是指圈图Cq的一个顶点与路图Pr的一个悬挂点相连，圈图Cq的一个顶点与Pr的另一个悬挂点相连。显然它是一个具有2q－2+r个顶点和2q－1+r条边的双圈图。

1 预备知识

引理1.1［1，2］(1)设图G是一个具有n个点和m条边的图，并设d=(d1，d2，…dn)点的不增的度序列，则多项式的一些系数满足: