李萼怀 管为华

目前土体的应力和应变分析中，主要有双曲线模型、流变模型、弹塑性模型等，在工程中广泛采用双曲线模型。该模型理论成熟，应用简便，有较多的实践经验可供参考。

1 双曲线型模型简介［1］

图1 双曲线应力应变关系

双曲线模型是把三轴压缩试验所得到的应力应变关系近似地认为是双曲线，如图1a)所示。即在试样的周围压力σ3不变时:

其中，a为初始切线模量Ei的倒数;b为主应力差渐近值(σ1－σ3)的倒数;εa为轴向应变。如果将图1a)的纵轴改为，则双曲线变为直线，如图1b)所示。从该直线上很容易确定a和b的数值，得到σ3为某一值时的Ei和(σ1－σ3)u。式(1)可改写为:

其中，(σ1－σ3)f为试样破坏时的主应力差;Rf为破坏比，其值小于1，其定义如下:

式(2)对轴向应变εa求导数，得到曲线上任一点的切线模量为:

式(2)可改写为:

由式(4)，式(5)得到:

其中，s为应力水平，即实际主应力差与破坏时主应力差的比值，反映抗剪强度发挥的程度

根据压缩试验研究，初始切线模量Ei与固结压力σ3的关系可表示如下:

其中，k，n均为由试验确定的参数，可从Ei与σ3的关系求得，如图2所示，k值反映材料的可压缩性;Pa为大气压力，单位与Ei相同，以便使k值成为无因次的数，一般取其近似值为0.1 MPa。

图2 初始切线模量与固结压力

根据摩尔—库仑破坏标准得:

其中，c，φ分别为土的凝聚力与内摩擦角。

将式(7)，式(8)代入式(6)，最后得到切线模量的表达式:

通过分析可知双曲线模型具有以下几个特点:

1)模型假定偏应力与轴向应变之间的关系符合双曲线关系，并由常规三轴试验来确定切线弹性模量;2)该模型假定材料是各向同性的;3)该模型采用了摩尔—库仑强度理论;4)模型包含了应力水平因素，可以考虑材料的模量随应力而变的非线性性质;5)模型共八个参数，即 k，n，Rf，c，φ，F，G，D。在本次试验中，由于未能测出材料的侧向应变，因此不能确定F，G，D三个参数，只能确定k，n，Rf，c，φ五个参数。采用常规三轴试验结果确定这五个参数值。

2 材料参数的确定

2.1 c和 φ 的确定

从材料三轴试验曲线可知，所研究材料应力应变曲线的上升段基本为双曲线，图中破坏时的应变值基本在2%左右，考虑到试验曲线还可以延长，所以建议破坏值取2%～5%。在本次计算中，考虑到了双曲线的拟合情况，所以破坏时的应变值取为4%。

根据拟合的双曲线，取轴向应变为4%时所对应的σ3与(σ1－σ3)，可得出材料的性质参数——凝聚力c和内摩擦角φ，如表1所示。

表1 材料c，φ值

2.2 Rf的确定

由本构模型切线弹性模量的推导过程可知:

其中，b为如图1b)所示直线的斜率。

2.3 k和n的确定

表2 Rf计算表

图3 lg与lg关系曲线

k和n的计算见表3。

表3 k和n计算表

2.4 材料切线模量的确定

采用虚加刚性弹簧法的方法以后，曲线3虚拟模型的切线模量E'是由实际材料的切线模量叠加刚性弹簧刚度后所得(见图4)，即:E'=Et+ED。

图4 虚加刚性弹簧法示意图

由此可以得出:Et=E'－ED。

其中，E'为虚拟模型的切线模量;Et为实际材料的切线模量;ED为虚加刚性弹簧的弹性模量，本文对材料用量取其实际应力应变曲线的2倍最大负弹模的绝对值，本次试验中得出ED见表4。

表4 ED的确定

3 结语

邓肯—张模型反映了土体变形的主要规律，并且其各项参数易于从常规三轴试验求得而在工程实践中被广泛应用，本文通过对三轴试验结果的分析，确定了材料的参数，其准确度有待实践的检验。

［1］ James M.Duncan，A.M.ASCE.Nonlinear Analysis of Stress and Strain in Soils［J］.Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division，1970，96(5):1629-1653.