粟塔山

（国防科技大学理学院，长沙 410073）

讲授Riesz表示定理的两点注记

粟塔山

（国防科技大学理学院，长沙 410073）

对讲授Riesz表示定理提出了两点可供参考的资料和建议.

Riesz表示定理；超平面

笔者近年为工科硕士生讲授《应用数学基础》课程，使用的教材是《应用数学基础》（吴翊，李超，罗建书，戴清平编著，高等教育出版社，2006）.讲到Riesz表示定理时，笔者围绕该定理作了一点铺垫和引申，这对于学生更细致地理解Hilbert空间可能有些益处.

1 Riesz表示定理的一点铺垫

Riesz表示定理的关键结论是：对于Hilbert空间X上的任何线性有界泛函f，存在对应的元素y∈X，使得

称y为f的表示.教材给出的证明是简洁而清晰的：当f＝0，取y＝0即可；当f≠0，则f的核N（f）≠X，从而N⊥（f）≠0，于是可取到y0∈N⊥（f），y0≠0.作

验证即得.第一次讲授时，有学生提问：怎么想到要这样选取y呢？笔者当时没能回答.

教材毕竟不是教案，也许教师的课堂讲授应该说出教材没有说出的话.笔者感觉，如果在Riesz表示定理之前做一些适当的铺垫，就能让学生更轻松地接受定理的证明.于是，笔者第二年讲授该定理时，先补充了一个结论（此前，教材中已经讲述了投影定理）.

引理 设f是Hilbert空间X上的线性有界泛函，且f≠0，那么，N（f）与X只差1维，即存在y0∈N⊥（f），y0≠0，使得

其中［y0］表示y0的张成子空间表示正交和.

证 由f的线性连续性易知N（f）是X的闭子空间.又因为f≠0，即N（f）≠X，故存在y∈X，y∉N（f），取

其中是y在N（f）中的投影，从而y0∈N⊥（f），y0≠0.现在∀x∈X，

有了这个引理，再来考察对于给定的线性连续泛函f，如何找到y，使得

首先注意到，当x∈N（f）时，上式左边为零，故必须y∈N⊥（f）.而根据引理，N⊥（f）是y0张成……