罗　敬，段　汕



实数连续性九个等价命题的证明

罗敬，段汕*

（中南民族学院 数学与统计学院，湖北 武汉 430074）

叙述九种形式的实数连续性定理，并采用闭循环回路方式证明这九种常见实数连续性定理彼此等价。

实数连续性；等价命题；证明

1　实数连续性命题描述

1.1单调有界定理

1.2闭区间套定理

1.3有限覆盖定理

1.4 界点定理

1.5 确界定理

1.6 实数连续性定理

1.7 聚点定理

定理1.7.1（聚点定理）：实数集的任一无限有界子集至少有一个聚点。

1.8 致密性定理

定理1.8.1(致密性定理):有界数列必含有收敛子列。

1.9 柯西收敛准则

2 实数连续性九个命题的等价性

前面我们叙述了实数连续性的九个命题，现在我们将证明实数连续性的九个命题中任意两个等价。为了节省篇幅，我们用闭循环回路的方式证明。这些证明有助于加深对实数连续性的九个命题的理解及其等价性的理解，有助于掌握用这些定理证明分析中一些重要定理的思想方法。这是《数学分析》中很重要的基本功。下面我们按图1所示顺序证明它们等价：

图1 九个命题的闭循环回路

2.1 单调有界定理→闭区间套定理

存在极限。设

2.2 间区间套定理→有限覆盖定理

2.3 有限覆盖定理→界点定理

故综上可得：假设不成立。

2.4 界点定理→确界定理

2.5 确界定理→实数连续性定理

2.6 实数连续性定理→聚点定理

2.7 聚点定理→致密性定理

2.8 致密性定理→柯西收敛准则

证明: （1）柯西收敛准则的必要性

（2）证柯西收敛准则的充分性

2.9 柯西收敛准则→单调有界定理

至此，实数连续性九个定理的等价性得到了证明。……