李雪芳，王希云

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024)

关于病态线性方程组的求解方法有很多，主要分为直接法和迭代法。近几年出现的直接法主要有:误差转移法[1]、增广方程组法[2]等;常见的迭代法有:有残差校正迭代法[3]、Wilkinson 迭代法[4]等。

Wilkinson迭代改善是解病态线性方程组，提高解的精度的一个重要方法。杨曙光在1989年将Wilkinson迭代改善推广得到了一种定向扰动法[5];吴新元在2002年提出了步长h≡1的Wilkinson迭代法[6]来求解病态线性方程组，其迭代格式为:

由于上述固定步长的求解方法所产生的解不是很理想，因此吴新元于2007年将一阶欧拉公式和二阶梯形法则相结合，提出了一种自动控制步长的Wilkinson 迭代法[7]，其迭代形式为:

本文在此基础上，将一阶欧拉公式和二阶R-K格式相结合，构造了一种自动控制步长的迭代格式，证明了该迭代格式的收敛性，通过数值实验结果，对所得误差做出了分析。

1 一种嵌入式的新的迭代形式

将一阶欧拉公式和二阶R-K方法结合起来，给出一种新的迭代形式。

一阶欧拉公式:

二阶R-K公式:

(4)式也可以等价地记为:

也就是说给定一个初始的步长，可以得到迭代形式为:

由于ˉxn+1比xn+1的阶低，因此步长h满足这样的条件:

其中ε为精度要求，h为当前步长。若s＜0.75，折半步长;若s＞1.5，加倍步长。

2 迭代形式的收敛性

如果hn=h是一个常量，则迭代形式(5)就是一个线性平稳的迭代形式，可以写成如下的形式:

其中E为单位矩阵。

此时迭代形式为:

定理1 如果hn=h＞0是一个常量，则迭代形式(8)是收敛的。

证明:很明显。……