唐永亮，欧阳耀

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州313000）

0 引言

近年来，对基于非线性积分的不等式研究已成为一个热点话题.例如，Agahi等人［1］研究了基于伪积分的Chebyshev型不等式，Pap和Strboja［2］研究了Jensen型不等式.在Sugeno积分的框架下，Mesiar和Ouyang［3］证明了Chebyshev型不等式的一般形式，Caballero和Sadarangani［4］证明了Cauchy－Schwarz不等式.

Choquet积分是由法国数学家Choquet于1953年［5］引入的一类重要积分.这种积分可以基于任何单调测度定义积分，因而一般地这种积分缺少线性性.但是，当单调测度具有σ－可加性时，这种积分就成了通常的Lebesgue积分.Choquet积分是决策、模式识别，以及经济数学等许多领域中的有力工具.例如，文献［6］证明了Choquet积分与g－期望［7］之间有着紧密的联系.有些作者也研究了基于Choquet积分的不等式.例如，Wang［8］证明了基于Choquet积分的Minkowski、Holder和Jensen不等式.

本文的主要目的是证明基于Choquet积分的Carlson不等式.首先回顾一些基本概念和已知结论，然后陈述研究的主要结果，包括一些有趣的例子.

1 基本概念和结论

设（X，A）是一个可测空间（即X是一个非空集合，A是X的子集组成的σ－代数）.集函数μ∶A→［0，∞］称为单调测度当且仅当μ（φ）＝0，μ（X）＞0且A⊂B⇒μ（A）≤μ（B）.而三元组（X，A，μ）称为单调测度空间.

Choquet积分的定义如下［10］：

设（X，A）为单调测度空间f∶X→［0，∞］为A可测函数.f在可测集A上关于μ的Choquet积分定义如下：

其中Ft＝｛x｜f（x）≥t｝，右端的积分为反常Riemann积分.

Choquet积分的一个重要性质是它的共同单调可加性［10，11］.两个函数f、g是共同单调的，如果对任意的（x，y）∈X2都有：

（f（x）－f（y））（g（x）－g（y））≥0，

或等价地

｛Fa｝a∈［0，∞］∪ ｛Gβ｝β∈［0，∞］

形成一条链.所谓共同单调可加，是指：

其中f，g是共同单调的.

文献［8］中，在单调测度满足次模条件［10］的假设之下，Wang证明了几个基于……