陈跃勤

（泗洲中学，浙江 嘉善314100）

0 引言

由于在众多领域中都存在着急待解决的非线性问题模型，而在适当的条件下，摄动方法恰好是解决此类工程技术和科学问题的主要数学工具之一，且所得到的解具有较高的精度，因此非线性问题的摄动解法在国内外学术界越来越受到关注.

国内外许多学者都曾在摄动理论方面做出了巨大贡献，如：Bob O’Malley、Adelaida Vasil’eva、A.H.Nayfeh［1］、钱伟长、郭永怀、钱学森等.许多近似方法也被发展和优化，包括平均法、边界层法、渐近展开法和多重尺度法等.近年来，许多数学工作者都致力于该方面的研究，林宗池、莫嘉琪等［2，3］利用摄动法解决了一些类型的非线性边值问题，唐荣荣［4］、欧阳成［5］、王莉婕［6］也曾讨论了几类非线性奇异摄动问题.本文讨论一类含有足够小的正参数的超越摄动方程：

式中，0＜ε≪1，f（x）充分光滑，且f（x）＝0有m 个根（m≥n），g（x）是任意一个超越函数，且充分光滑，Pn（x）为复数域上的n次多项式：

Pn（x）＝anxn＋an－1xn－1＋ … ＋a1x＋a0，（an≠0）.

1 解得渐进表达式

设方程（1）解的渐近展开式：将（2）式代入方程（1），得：

将以上两项合并，即得：

当ε→0时，得方程（1）的退化方程：

由（3）式可知，x0是方程（4）的根.下面我们分两种情况讨论：

（1）x0为退化方程（4）的单根时，有：f′（x0）≠0.

比较ε的系数，得：f′（x0）x1＋Pn（x0）g（x0）＝0.

则有：

比较ε2的系数，得：

则有：

比较ε2的系数，得：

则有：

用类似的方法，我们可以依次求得x4，x5，… 因此可得摄动方程（1）对应于退化方程单根x0时的渐近展开式：x＝x0＋εα＋ε2β＋ε3γ＋…，0＜ε≪1.其中α、β、γ分别（5）、（6）、（7）式中所示的x1、x2、x3.

（2）若x0是退化方程f（x）＝0的k重根（2≤k≤m）时，有：f（x）＝0，f′（x0）＝0，…，f（k－1）（x0）＝0，f（k）（x0）≠0.我们令方程（1）的根的渐近展开式为：

将（8）式代入方程（1），得：

将以上两项合并，即得：

选出主要项，得……