刘喜斌

(湖南理工学院 物理与电子学院, 湖南 岳阳 414006)

关于拉格朗日方程应用中的问题讨论

刘喜斌

(湖南理工学院 物理与电子学院, 湖南 岳阳 414006)

拉格朗日方程是分析力学中一个极为重要的方程. 本文总结了在应用拉格朗日方程解题时应注意的几个问题,并结合实例加以分析讨论.

拉格朗日方程; 动能; 势能; 广义力

拉格朗日方程是分析力学中一个极为重要的方程, 它是以s为广义坐标q1,q2,…,qs作为独立变量的二阶微分方程组, 对于受理想、完整约束的一般力学体系, 它具有以下形式:

其中T为动能,Qα为广义力.

当主动力为有势力时, 它的形式为:

在应用它解题时, 必须弄清以下两点:

2．掌握广义力的概念及其计算公式, 以及明确全导数与偏导数的运用也是应用拉氏方程的前提.

例1 质量为M的滑块受水平力的作用, 沿倾角为α的光滑固定斜面滑动, 滑块上铰接一长为l, 质量为m的匀质直杆,铰接处光滑. 此系统只能在铅垂面内运动. 试用拉氏方程建立系统的运动微分方程.

图1

分析以滑块与直杆构成一系统, 自由度为2, 取s和φ为广义坐标(图1), 此系统受理想、完整约束.主动力mg、Mg、因为不是有势力, 所以用方程(1).

1° 求动能表达式

系统的动能=滑块的动能+直杆的动能. 滑块只做平动, 直杆随滑块平动, 且有转动, 其动能可由柯尼希定理给出, 所以系统动能为:

(6)式化简后与(5)相同.

图2

图3

2° 求广义力

所以有

[另法] 由的独立性, 也可以分别计算:

当然, 还可以根据广义力的定义式:

来计……