尹军用，汪 备

（上海宇航系统工程研究所，上海201108）

1 引言

2007年10月24 日，中国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”成功发射。嫦娥一号卫星的转移轨道（不包括调相轨道）飞行时间是114h，为了克服探测器飞向月球过程中轨道位置和速度误差的逐渐发散，嫦娥一号设计了三次中途轨道修正：第一次修正在第17h进行，最后一次在第90h进行，还有一次作为备选，安排在第41h。实际上，嫦娥一号卫星飞行十分理想，只是在第41h作了唯一的一次中途轨道修正，修正量4.8m/s。

月地转移和地月转移动力学方程类似，月地转移的轨道特性和地月转移的轨道特性存在对称性。因此，月地转移轨道同样存在中途轨道修正的问题，如果月地转移的入轨偏差超过允许值，却不进行中途轨道修正，则难以保证返回器（舱）的落点精度，甚至不能返回地球。

不管是载人登月还是无人探月，月地转移中途轨道修正都不可或缺。据目前了解到的资料，只有前苏联的Luna-16月球采样返回没有进行中途轨道修正（主要因为Luna-16返回地球的精度要求较低），其余月球返回探测器（Luna-20、Luna-24、探测器5～8号等）都进行了至少一次月地转移中途轨道修正。

在人类载人登月的历史中，仅有6次成功的载人登月经验，即“阿波罗”（Apollo）11号～Apollo17号（Apollo-13号除外），Apollo载人飞船在进行月地转移时，至少进行1次中途轨道修正，见表1。

表1显示，Apollo载人登月月地转移中途轨道修正一般分两次，第一次一般在月地加速后15h左右，第二次中途轨道修正在到达再入点前3h左右。

载人登月轨道和无人登月轨道的区别主要有两点：

其一是载人登月轨道转移时间一般较短，目的是减少乘员和系统对能源的消耗。Apollo载人登月系列中，任务时间最长的为Apollo17号，约302h，最短的是Apollo11号，约195h。Apollo载人登月飞船地月转移时间在69h～81h之间，月地转移时间在59h～72h之间。而无人登月任务因为对载人及附加系统的能源的消耗要求稍低，一般时间较长。

其二是载人登月的轨道安全性设计要求较高。Apollo载人登月飞船在火箭发射过程、地月转移过程（见图 1）、着月过程都考虑了安全返回轨道的设计（见图2）。NASA给“阿波罗”登月飞船设计了很高的安全标准：从火箭起飞开始，航天员完成登月任务的概率为90%，航天员安全返回地球的概率为99.9%（不管是否完成任务），而无人登月任务的轨道则不需要这么高的安全性。

表1 Apollo登月飞船月地转移统计

图1 “阿波罗”地月转移过程的中止轨道

图2 “阿波罗”着月过程的中止轨道

Apollo地月/月地转移中途修正的目的有两类：

一类是修正轨道入轨偏差。由于入轨时间误差、控制误差、导航误差等因素的影响，Apollo飞船入轨后会与预先设计的轨道有一定偏差，且到达月球（或返回地球）的轨道参数也与期望值不同，必须在中途进行轨道修正以满足到达月球（或返回地球）的轨道约束。修正轨道入轨偏差的修正量和入轨偏差有关系。

另外一类修正的目的是改变目标轨道。Apollo载人登月轨道的安全性轨道设计要求比较高，一般发射轨道采用自由返回轨道，但是自由返回轨道有一定的局限性，即着月点限定在月球赤道附近，无法到达月球高纬度地区，因此，实际Apollo地月转移轨道常采用混合轨道（见图 3），即载人飞船一开始按照自由返回轨道发射并进入转移轨道后，当确信船上仪器工作正常时，飞船将进行中途轨道修正，偏离自由返回轨道，进入目标轨道，使飞船能够降落在月面设定着陆点。

图3 “阿波罗”飞船混合轨道

到目前为止，针对月球探测器中途轨道修正的研究主要集中在地月转移中途轨道修正，对月地转移的中途轨道修正尚未看到公开的文献，本文的目的是通过数值计算，对月地转移的中途修正时间和修正量进行分析，为我国的月球探测返回轨道设计提供理论依据，其适用范围可以是无人登月返回，也可以是载人登月返回。

2 模型的建立

2.1 探测器的动力学方程

月球探测器在地-月间飞行过程中，除了受到中心引力体的万有引力以及发动机的推力外，还受到其它天体（太阳、月球/地球等）的引力摄动，地球、月球非球形摄动、太阳光压摄动以及大气阻力等摄动作用，在进行探月轨道设计时必须考虑这些摄动的影响。而对于探测器受到的其它的摄动，比如木星、金星和火星的第三体摄动、地球潮汐摄动、地球扁率的间接摄动、相对论效应摄动等，由于其对探测器飞行轨道影响较小，在进行探测器轨道设计时，可以忽略不计。

月球探测器在地心天球坐标系中的动力学方程为：

式中，右端第一项为地球的中心引力，其余项为：AN：N体引力摄动加速度；ANSE：地球非球形引力摄动加速度；AP：推力加速度；ANSL：月球非球形引力摄动加速度；AR：光压摄动加速度；AD：大气阻力摄动加速度。

本文中，探测器的动力学方程主要考虑第三体引力—太阳和月球的影响，别的天体摄动因素因其量级较小，暂不考虑。

2.2 地月/月地转移轨道的解法

2.2.1 微分修正法

为简单起见，仅考虑地球、月球和太阳的引力作用，则月球探测器的轨道动力学方程可以表示为：

若记，则上述二次方程可以改写为一次方程：

对方程（4）做变分，得

其中，A（t）=Df（u（t））为f（u）的Jacobian矩阵。

又变分方程（5）具有如下形式的解：

因此，给定初始条件u（t0）=u0，Φ（t0，t0）=I6，通过

即可解出状态转移矩阵 Φ（t，t0）。

2.2.2 地月转移轨道的解法

令

其中，Ω为升交点赤经，ω为近地点幅角，vp是近地点的速度，Hm为近月点高度，是Z方向的单位矢量。地月转移初始状态与终端状态之间有着确定的关系，如下

忽略二阶项，则两状态的偏差之间的关系可以用线性近似表示为

利用这一关系，在一个合适的初值基础上，通过若干次迭代就可以求出十分精确的数值解。这里的问题是，上述偏导数的分析表达式无法给出，但可通过数值求出，如下

则，

2.2.3 逆向积分法

在进行月地转移轨道计算时，按照地月转移的思路，初始位置在环月轨道，末端位置在地球大气层附近，分别给出两端的约束条件，可以应用微分修正法计算月地转移轨道。一般的，为了计算月地转移轨道的方便，可以根据地月和月地轨道计算的对称性，根据逆向积分，将月地转移轨道从再入点积分至月球停泊轨道，计算方法和计算过程和计算地月转移轨道类似，仅仅需要将积分时间由正变为负。

3 环月轨道参数误差对再入点偏差的影响

探测器在月地转移过程中，对于不同的月地转移轨道，地—月系统对探测器初始入轨误差都会逐渐放大，且对不同轨道的影响会有所不同。但是，由于整个转移过程中的动力学方程完全一致，且都是从月球附近转移到地球附近，虽然其初始参数和末端参数不同，但是整个发散的量级是相同的，中途轨道修正的能量也是和初始轨道偏差成正比的。

给定2016年10月10日0时42分54秒从月球停泊轨道出发的一条轨道，出发点在月心惯性系下的参数为aM=Rm+200km、e=0、i=139.2°、Ω=176.7°、ω=231.9°、f=0°，对应Vp=2459.85m/s。该月地转移轨道转移时间72h，到达再入点时间为2016年10月13日0时42分54秒，再入点经度为57.191deg、再入点纬度为30.433deg。

下面分别研究环月轨道参数的偏差对再入点的影响，方法是对环月轨道参数进行拉偏，其中月地转移时间为从月地加速点至再入点的时刻间隔，再入点的偏差是在地固系下实际再入点和期望再入点的直线距离，各种参数对再入点的影响见表2～表7。

表2 初始速度偏差对再入点的影响

表3 初始近月点高度偏差对再入点的影响

表4 初始轨道倾角偏差对再入点的影响

表5 初始真近点角偏差对再入点的影响

表6 初始升交点赤经偏差对再入点的影响

表7 初始近地点幅角偏差对再入点的影响

由表2～表7可知，环月轨道参数偏差对再入点的位置影响很大，在没有中途轨道修正的情况下，初始速度偏差0.1m/s，再入点位置偏差200km量级；初始近月点高度偏差0.5km，再入点位置偏差在500km量级；初始轨道倾角和真近点角偏差0.1deg，再入点位置偏差在100km量级；初始升交点赤经和近地点幅角偏差0.1deg，再入点偏差在600km量级。

表2～表7说明，如果要完成月地转移任务，将返回器返回至预定的着陆场，需要进行中途轨道修正。

4 月地转移第一次中途轨道修正的时间分析

基于前面的调研分析，本文不加论证的给定月地转移中途轨道修正次数为2次。

假定速度有1m/s的误差，在探测器进入月地转移轨道后不同的时刻（2～71h）进行修正，修正脉冲与修正时刻的关系见图4～图5。

由图4～图5可以看出，在进入月地转移轨道的初始几十个小时内，修正时刻越早，需要的速度修正脉冲越小，但修正量变化缓慢。在到达再入点的前6个小时内，速度修正脉冲变化比较剧烈，从约50m/s增大到约500m/s，误差随着探测器运行时间的增大逐渐放大，因此，从节省能量的角度，月地转移第一次中途修正时间越早越好。根据由图4～图5，速度方向1m/s的速度残差被放大到10m/s（10倍）需要约50h，放大到 5m/s（5 倍）需要 40h，放大到 2.5m/s（2.5倍）需要20h，因此，建议月地转移第一次中途修正在月地加速后40h之前，此时误差放大的量级在初始速度偏差的5倍范围内。

图4 第1～60h修正对应的修正脉冲曲线

图5 第60～71h修正对应的修正脉冲曲线

另一方面，如果第一次修正时刻太早，则残余误差会更多的被放大，会加重以后的修正任务；另外，进入月地转移轨道后，地面对探测器的跟踪定轨还需要一段时间，一般在月地转移加速12h以后比较合适。

因此，在没有对误差放大量级的具体约束条件下，粗定月地转移第一次中途修正在12h～40h之间，后续仿真暂定为20h。

5 环月轨道参数对中途轨道修正量的影响

当探测器进入月地转移轨道的状态相对于标称状态有偏差时，在修正时刻（本文在入轨后20h修正）给探测器施加一个速度脉冲，使其到达再入点的状态满足预定条件，以下讨论速度修正脉冲的大小与环月轨道参数误差量的关系。

近地点高度的误差对轨道的影响比较明显，见图6，修正量和误差量成正比。近地点高度1km的误差，需要1.8m/s的速度增量修正。

升交点赤经的误差对轨道的影响见图 7，修正量和误差量成正比。升交点赤经0.1deg的误差，需要2.7m/s的速度增量修正。

近月点幅角的误差对轨道的影响见图8，修正量和误差量成正比。近月点幅角0.1deg的误差，需要2.5m/s的速度增量修正。

月地加速时间的误差对轨道的影响见图9，修正量和误差量成正比。月地加速时间1min的误差，需要0.3m/s的速度增量修正。

图6 修正脉冲随近地点高度误差的变化曲线

图7 修正脉冲随升交点赤经误差的变化曲线

图8 修正脉冲随近月点幅角误差的变化曲线

图6～图9显示，偏差量和修正量有近似线性的的关系，20h误差修正量可根据实际偏差量近似的估计出来。

6 月地转移第二次中途轨道修正的时间分析

第一次中途修正后，速度方向上仍然会存在一定的残余误差，以1m/s的残余误差分析，分析三方向速度残余误差对落点的影响，即在第20h以后的轨道上的某一时刻，速度拉偏1m/s，计算拉偏前后的轨道到达再入点的偏差，见图10。

从图 10可知，第二次中途修正（最后一次）时间越早，其速度残差对落点偏差的影响越大。如果从月地转移第20h进行修正，三方向1m/s的速度偏差会分别造成再入点约800km、750km和60km的偏差；如果在再入前1h进行修正，1m/s的速度偏差会造成三方向造成6km、4km和2km的位置偏差。因此，从落点精度的保证来说，第二次中途修正越晚越好。

图9 修正脉冲随发射时间误差的变化曲线

图10 不同时刻各方向1m/s的偏差对再入点的影响

同样从误差发散的角度，第一次中途修正带来一定的残余误差，第二次中途修正越晚所需要的修正量越大，这点从图4～图5可以证明，而且特别明显的是，速度残差的发散在到达地球前3h剧烈的增大。因此，从节约能量的角度来说，第二次中途修正越早越好，特别是在到达地球前3h之前的时刻修正。

一般的，月地转移以保证落点精度为首要任务，但是仍需避免在速度残差发散剧烈的阶段进行修正，因此，建议在再入前3h左右施加第二次中途修正，这也是Apollo飞船选择再入前3h左右进行中途修正的原因。

7 结论

本文对月地转移中途轨道修正进行了研究，通过建立探测器在地—月系统的动力学模型，简要分析了初始入轨误差对再入点偏差的影响。本文还利用地月/月地转移的中途轨道修正模型和微分修正算法，分析了在存在环月轨道偏差的条件下，月地转移轨道误差随月地转移时间的发散过程，给出初始偏差发散2.5倍、5倍和10倍大约所经历的时间。

本文分析第二次中途轨道修正的方法和分析第一次中途轨道修正的方法类似，同样是分析第一次修正后的残余误差在月地转移轨道上的发散过程，对再入点的偏差进行分析，该分析可以解释Apollo载人飞船第二次中途轨道修正的时间选择。

受篇幅所限，本文仅仅对由于入轨误差的影响而进行月地转移中途轨道修正的一类情况进行了简要的分析，对于改变目标轨道的一类中途轨道修正没有研究，这一类的问题与自由返回轨道和混合轨道的设计关系密切，需要结合实际的载人登月任务进行设计。◇

［1］杨维廉，周文艳.嫦娥一号月球探测卫星轨道设计［J］.航天器工程，2007，16（8）:16-24.

［2］周文艳，杨维廉.月球探测器转移轨道的中途修正［J］.宇航学报，2004，25（1）:89-92.

［3］杨维廉，周文艳.嫦娥一号卫星地月转移轨道中途修正分析[J].空间控制技术与应用，2008，34（6）:3-7.

［4］Manned Spacecraft Center.Apollo 11 Mission Report.MSC-00171.

［5］ Holley，M.D.，Swingle，W.L.，et al.:Apollo Experience Report-Guidance and Control Systems:Primary Guidance，Navigation，and Control System Development.NASA TN D-8227，1976.