毛月梅，马小箭

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

有限幂导p-群关于幂导嵌入的一些性质

毛月梅，马小箭

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

在A.Mann等人研究的幂导p-群的基础上，给出了幂导p-群关于幂导嵌入子群的一些基本性质。关键词：有限p-群；幂导嵌入；正则；交换

对有限p-群，Φ（G）＝G′U1（G），当p＝2时，G′≤U1（G）。当p＞2时，则此结论不一定成立。基于这样的事实，Lubotzky和A.Mann于1987年首次在文献[1]中提出了幂导p-群以及幂导嵌入的概念，并介绍了关于幂导性的一些基本性质。L.Hethelyi在2003年的文献[2]中得出了有限幂导p-群满足|Λ1（G）|≤|G∶U1（G）|的重要结论。而Marcin Mazur在2007年的文献[3]推广了L.Hethelyi的结论得出了|Λ1（G）|≤|G∶U1（G）|对一切正整数i都成立。在文献[4]中也给出了关于幂导p-群的一些性质。在此基础上，又推出了幂导p-群关于幂导嵌入的一些性质。以下给出用到的一些主要定义.

定义1称有限p-群G为幂导p-群，若p＞2，有 G′≤U1（G）；若p＝2，有G′≤U2（G）。

定义2设G为有限p-群，N为G的正规子群，若p＞2，有［N，G］≤U1（N）；若p＝2，有［N，G］≤U2（N），则称N幂导嵌入于G。

引理1[1]若M，N幂导嵌入于G，那么［N，G］，U1（N），［N，M］，都幂导嵌入于G。

引理2[1]设G为有限p-群，若d（G′）＝2，那么G3≤Z（G）。

引理3[5]正则p-群G是p-交换群当且仅当U1（G′）＝1。

引理4[6]设G为有限p-群，那么[U1（Gn），sGk]≤U1（Gn+sk）Gpn+sk。

引理5[7]若G是有限幂导p-群，那么Ui（Uj（G））＝Ui+j（G）。

以下定理所涉及的正整数p，均指p＞2的奇素数。

定理1设G为有限p-群，若G′二元生成且非交换，那么G3幂导嵌入于G′。

定理2若G是有限幂导p-群，那么Ui（G）（i≥1）幂导嵌入于G。同时有U1（Ui（G））＝U1+i（G）。

证明 对i进行归纳来证明Ui（G）幂导嵌入于G。当i＝1时，结论显然成立。假设Ui（G）幂导嵌入于G，下证Ui+1（G）幂导嵌入于G。在此假设下首先对|G|进行归纳来证明等式U1（Ui（G））＝U1+i（G）。显然U1+i（G）≤U1（Ui（G）），下证U1（Ui（G））≤U1+i（G）。不妨设Ui+1（G）＝1。 设N是G的包含于Ui（G）的极小正规子群，考虑G/N。……