张慧芬，王兰卿

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

三维空间中曲面与曲线的对称

张慧芬，王兰卿

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

给出了求曲面和曲线的对称曲面和对称曲线的方法，并举例说明该方法的使用。

曲面；曲线；对称

在高等数学教学中，空间解析几何一章中引入空间直角坐标系后，涉及到了点分别关于点、坐标轴以及坐标平面的对称，这些在课后习题中都有提到，这里不再赘述。但是在空间几何学中关于曲线与曲面的对称曲线和对称曲面的研究，常见特殊情况，本文试着给出几个结论，希望在空间曲线和曲面的对称问题上有所帮助。

1 空间曲面

1.1 关于点对称

定理1空间曲面F（x，y，z）＝0关于定点P0（x0，y0，z0）的对称曲面方程是

F（2x0-x，2y0-y，2z0-z）＝0。

所以

x1＝2x0-x，y1＝2y0-y，z1＝2z0-z。

又点P1（x1，y1，z1）在曲面F（x，y，z）＝0上，有

F（x1，y1，z1）＝0，

故所求对称曲面的方程是

F（2x0-x，2y0-y，2z0-z）＝0。

1.2 关于直线对称

证明 设曲面F（x，y，z）＝0上任一点P1（x1，y1，z1）关于定直线l的对称点是P（x，y，z），且P1P交直线l于P（x，y，z），且P（x，y，z）是—P→P的中点，则：

由（1）（2）整理，化简得

而F（x1，y1，z1）＝0，

故所求对称曲面的方程是

1.3 关于平面对称

定理3空间曲面F（x，y，z）＝0关于平面Ax +By+Cz+D＝0的对称曲面方程是

证明 设曲面F（x，y，z）＝0上任一点P1（x1，y1，z1）关于平面π

Ax+By+Cz+D＝0的对称点是P（x，y，z），且P1P交平面π于P0（x0，

又P0（x0，y0，z0）在平面π上，有

Ax0+By0+Cz0+D＝0

将（4）代入（3），化简得

而F（x1，y1，z1）＝0，

故所求对称曲面的方程是

特殊情形 空间曲面F（x，y，z）＝0关于原点的对称曲面是F（-x，-y，-z）＝0；关于坐标轴x，y，z轴的对称曲面是

F（x，-y，-z）＝0，F（-x，y，-z）＝0，

F（-x，-y，z）＝0；关于坐标平面xoy，yoz，zox的对称曲面是F（x，y，-z）＝0，F（-x，y，z）＝0，F（x，-y，z）＝0。

2 空间曲线

由上述定理1，2，3可类似得到下面结论，不再证明。

特殊情形 空间曲线 关于坐标轴x，y，z轴的对称曲线是

关于坐标平面xoy，yoz，zox的对称曲线分别是