○王素琴

（湖北第二师范学院数学与数量经济学院湖北 武汉 430205）

套利是投资者最为关注的内容，也是投资者寻找的内容，它充实着金融市场。套利是研究金融中均衡性和公平性的重要工具，所以，无论是理论还是实证，套利一直都是金融领域研究的主要课题。

研究套利的理论有很多，其中很多都是数理金融理论中最重要的理论基础，这些既被用于研究套利，也被用于导出数理金融中的其他结论。研究套利的方法很多，如中性概率分布和状态价格向量，也有很多方法来证明相关理论结论，这些方法各有优劣，可以从某些方面揭示套利的实质。

单纯从数学上看，套利实际为两组线性不等式组的关系。本文利用线性不等式组、线性系统或线性锥系统的择一性和对偶性来构造状态价格向量，并说明无套利与状态价格向量为一对偶关系，进而说明中性概率分布和状态价格向量之间的关系。

一、预备知识

1、一些记号

设市场有n个风险资产，每种资产在未来时刻1有l个状态，第i个资产在第j个状态出现时的收益率为ri（j），价格为Pji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，l）。记：

投资策略向量（资产组合）：x=（x1，x2，…，xn）T；

概率向量：p=（p1，p2，…，pl）T；

第i个资产在当前时刻0的价格（初始价格）为vi（i=1，2，…，n），记：

初始价格向量：v=（v1，v2，…，vn）T；

其中：Zji=Pji/vi（i=1，2，…，n；j=1，2，…，l）为在时刻1状态j出现时第i个资产的总收益率，有关系：

如果 x∈R+n，x≠0，则称 x≥0，同样可以定义 x≥y。

2、择一定理

设A是矩阵，x、u是列向量。

引理1 对齐次线性不等式组：

（Ⅰ） Ax≥0；

（Ⅱ） ATu=0、u＞0，

则（Ⅰ）有解的充分必要条件是（Ⅱ）无解。

引理 2 设 x∈Rn、u∈Rm、A∈Rm×n；Cx为 Rn中其锥，其对偶锥为C*x，考虑线性锥系统：

（Ⅰ） x∈Cx，Ax≥0；

（Ⅱ） -ATu∈C*x，u＞0，

则（Ⅰ）有解的充分必要条件是（Ⅱ）无解。……