薛泽春，李永刚，李连之，张宪玺，刘 颖

(1.山东省化学储能与新型电池技术重点实验室，山东 聊城 252059;2.聊城大学化学化工学院，山东 聊城 252059)

在进行色谱分析或光谱分析过程中，信号强度较弱或噪声信号较强，会造成信噪比较小，使有用信号不能完全充分反映试样的信息，或分析样品含量很低，信号较弱，而应用小波变换，可发现合适信号［1］.目前，小波分析在故障诊断、图像处理、语音识别、光谱分析［2］等领域得到了广泛应用.在光谱分析中，由于小波分析具有优良的多分辨率分析特性［3］，利用小波多尺度分析可把信号分解成高频和低频成分，实现去噪功能［4］.

小波变换主要是基于小波时频局域化特性，频率成分在时间轴上位置保持不变，频率变换不影响信号的线性［2，5－6］，能够同时展现信号时间－频率性质.在获取试样信号过程中，噪声信号一般频率较高，而有用信号频率较低，小波变换可以将信号按频率分开.

1 小波变换原理

a用于控制伸缩，称为尺度参数，b用于控制平移位置，称为平移参数，φa，b(t)称为小波函数.小波变换为某信号f(t)∈R在小波域的投影，通常定义为f(t)和φa，b(t)的内积，即:

小波变换由于a，b可变且具有时频局部化特征，因此对非平稳信号显示出了独特的分析能力.在小波分析中，随着尺度因子a的增大，小波φa，b(t)的窗口逐渐加宽，在时间轴上考虑范围大，而在频域上相当于用低频小波作概貌分析，对于较高频率的噪声信号滤波能力也随之增强［10］.在低频时，小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高;在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低.所以小波变换被誉为“数学显微镜”［11－12］.

小波基的选取应从一般原则和具体对象两方面进行考虑.一般原则包括正交性，紧支集，对称性，平滑性.要完全满足以上特性是十分困难的，小波的选取也没有形成统一的标准［13］.可以采用尝试的方法从多个小波基中选取合适的小波.

连续小波变换可以在较大的伸缩尺度上观察信号的变化趋势，变换系数用小波函数与信号相似性程度表示.系数大说明信号与小波函数相似程度大，选择小波系数可以重现原信号.在低尺度下，含有较多的噪声信号，而在大尺度下基本上是要研究的信号，因此对小波系数累积求和，就可放大原信号.

通过小波系数求和，就可以将噪声中难以识别的信号强化，从而发现被原始信号掩盖的信号.

2 实验过程

2.1 模拟信号

分析信号多为高斯峰，应用Matlab模拟一信号，并且为噪声信号所淹没，不能有效进行定量定性分析.

取a=2，b=200，c=40，noise为噪声，信号谱图如图1所示.信号被噪声完全覆盖，不能有效区别有效信号，也不能进行定性、定量分析.

图1 模拟信号

2.2 对信号进行连续小波变换

用 mexh，db4，coif4，haar，meyr，morl小波分别对图1信号进行连续小波变换，并将变换系数求和，将弱信号放大，寻找最佳小波形式.

3 结果与讨论

3.1 合适小波函数的选择

用 mexh，db4，coif4，haar，meyr，morl小波对图1信号进行连续小波变换，并将变换系数求和，放大信号如图2所示.

从图2 可以看出，a，b，c，f在时间为 200 处出现强峰，此处正好是模拟信号的峰位置，因此mexh，db4，coif4，morl能够反映出信号位置，但是b，c，f杂峰比较多，不如 a平滑;d，e在时间为200处没有出现信号峰，不能反映模拟信号的位置.综上所述，最好选择墨西哥帽小波进行小波变换.

图2 连续小波变换后小波系数求和(a ～ f小波函数分别为 mexh，db4，coif4，haar，meyr，morl)

3.2 连续小波变换找出有效信号

将模拟信号用墨西哥帽小波进行小波变换，尺度a取值为1∶96.如图3所示，在低尺度，也就是频率较高的信号，是噪声信号的小波变换系数;在大尺度，是频率较低的信号，是有效信号的小波变换系数.所以通过小波变换可以将混合信号按频率分开.

图3 模拟信号连续墨西哥帽小波变换图

在图3中，颜色的深浅代表小波系数的大小，颜色越深小波系数越大.从图3可以看出，信号在时间为200的点处，各尺度的小波系数最大，此处也正好是信号的位置，说明通过小波变换可以找到信号峰的位置.

3.3 弱信号的放大

除去高频的噪声信号将小波变换系数加和，就可以将原来的弱信号放大，而峰位值不变.图4为不同尺度条件下求和后作图.

图4 模拟信号连续墨西哥帽小波变换系数求和a～i分别为1～96、10～96、20～96、30～96、40～96、50～96、60～96、70～96、80～96小波系数之和)

从图4可以看出，利用小波变换后系数求和可以放大原信号，但是求和范围不同，所得图形不一样.范围较小时，信号平滑性较差，不符合高斯线性关系;范围较大时，信号夹杂很多噪声信号，原因是连续小波变换会造成冗余信号.因此，通过观察最好从c、d、e中选择，这里我们选择d来进行定量计算.

3.4 信号定量分析

将模拟信号按比例增大，然后用连续墨西哥帽小波变换，求其变换系数，加和以放大信号，研究其线性关系.

a=2，a=3，a=4，a=6，b=200，c=40分别作图如图5所示.

图5 a=2，a=3，a=4，a=6 时模拟信号

在图5中，有效信号被噪声信号覆盖，难于定量分析，将其用连续墨西哥帽小波变换，求其30～96层小波变换系数之和，并对时间作图，如图6所示.

图6 模拟信号小波系数之和与时间关系图

在原始模拟信号中不能观察到的信号通过小波变换被放大，峰位值不变，并且能够进行定性定量分析.

图7 信号强度与a值线性关系曲线

4 结语

弱信号分析是分析化学的一个重要方向.将信号通过连续墨西哥帽小波变换，频率高的噪声信号在尺度因子较小的位置，频率较低的信号在尺度因子较大的位置.通过连续墨西哥帽小波变换能同时展现信号的时－频信息的特点，从而能够找出有用信号，将埋藏在噪声信号中的有用信号小波变换系数加和，可以将弱信号放大，信号强度不同，小波变换系数加和也不同，并且具有良好的线性关系，能够作为定性定量分析的依据.

［1］卢礼萍，朱旭东，魏良淑，等.不同辐照下大豆胰蛋白酶抑制剂荧光的小波分析［J］.甘肃农业大学学报，2011，46(2):147 －151.

［2］朱殿明，金万祥，骆晓森，等.人血清卟啉荧光光谱的双正交样条小波识别［J］.光谱学与光谱分析，2008，28(8):1879－1881.

［3］顾振普，郑广.心电信号小波分析［J］.河北科技大学学报，2006，27(4):328－331.

［4］周丹，王钦军，田庆久，等.小波分析及其在高光谱噪声去除中的应用［J］.光谱学与光谱分析，2009，29(7):1941－1945.

［5］宋宁，周新勇，徐晓轩，等.基于小波变换的藻类显微光谱成像分类技术［J］.发光学报，2007，28(6):954－958.

［6］王书涛，王玉田，车仁生，等.基于小波变换的叶绿素荧光光谱测量系统研究［J］.应用光学，2005，26(1):49－ 52.

［7］倪雪春，杨慧中.基于小波变换测定水质中硝酸盐含量［J］.光谱实验室，2009，26(5):1175 －1178.

［8］张悦，杜守军，张丽梅.小波奇异性在钢结构损伤检测中的应用［J］.河北科技大学学报，2010，31(2):151－157.

［9］郁青春，张世超，王新东，等.小波变换方法消除热重实验噪音信号［J］.北京科技大学学报，2007，29(5):532－536.

［10］陈昌国，龙英，李纳.化学信号小波变换的本质分析［J］.渝西学院学报:自然科学版，2003，12(14):5－8.

［11］杨福生.小波变换的工程分析与应用［M］.北京:科学出版社，1999:89－90.

［12］马丽萍，石炎福，余华瑞.小波分析及其在化工信号分析处理中的应用及展望［J］.化工进展，2005，24(2):147－153.

［13］刘素美，李书光.超声检测信号处理的小波基选取［J］.无损探伤，2004，28(6):12 －15.